大學(xué)數(shù)學(xué)不好，或許是數(shù)學(xué)教材的鍋？

數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期：2020年07月22日

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來源：算法與數(shù)學(xué)之美

高數(shù)就不行了，我努力多時(shí)也沒法把那些公式定理形象化理解，貌似只能死記硬背。所以直接導(dǎo)致大學(xué)物理、電磁場電磁波等科目成績也相當(dāng)一般。

是不是我的腦子學(xué)到高中就是極限了？直說也無妨，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)我現(xiàn)在干的這活其實(shí)學(xué)到初中就能做了，賺的貌似也還可以。。。囧。。。

上了大學(xué)，為什么看不懂大學(xué)數(shù)學(xué)？因?yàn)榻滩奶睿?/span>

一個(gè)國家的教學(xué)水平，一定程度可以體現(xiàn)在教材的水平上；一個(gè)大學(xué)的教學(xué)水平，更似乎反應(yīng)在教材水平上。我國絕大多數(shù)學(xué)校的數(shù)學(xué)課程都是直接從蘇聯(lián)數(shù)學(xué)繼承過來的，三十多年來，變革的速度還是比較慢的。如果你看過美國的教材，或許可以從不同角度理解國內(nèi)考研學(xué)生數(shù)學(xué)平均分的不及格，可能是題目太難，也可能是教材太差，真的太差。如果數(shù)學(xué)教材存在一個(gè)鄙視鏈，那可以說國內(nèi)985比211好了一點(diǎn)點(diǎn)，但是常青藤系列比國內(nèi)985好了一個(gè)幾何量。

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例如，同濟(jì)版《高數(shù)》、浙大《概率統(tǒng)計(jì)》、同濟(jì)《線代》這三套經(jīng)典教材其實(shí)存在著巨大不足。他們表面聽起來很高大，實(shí)際上繼承了蘇聯(lián)空洞抽象的模式，以至于內(nèi)容設(shè)置非常不合理，如果是屬于應(yīng)用型的《微積分》，國內(nèi)的《高數(shù)》明顯偏難，而且聯(lián)系實(shí)際的題目太少；但是如果屬于分析型的《微積分》，那內(nèi)容又略顯得簡單和臃腫。以至于絕大部分學(xué)生畢業(yè)后基本完全忘記《高數(shù)》到底是什么，我不是說學(xué)生不認(rèn)真學(xué)習(xí)或者老師差，而是教材的因素，教材，教材，真的太差了。因?yàn)椤段⒎e分》是學(xué)習(xí)《概率統(tǒng)計(jì)》和《線性代數(shù)》的必備條件，因此直接導(dǎo)致整體考研數(shù)學(xué)成績非常差，而實(shí)際上目前考研的數(shù)學(xué)題目都是非?；A(chǔ)的，是教材上例題的加強(qiáng)版，合理的學(xué)習(xí)安排下，應(yīng)該能考到120分左右。但因?yàn)榻滩牡木薮笳T導(dǎo)性，讓學(xué)生產(chǎn)生了嚴(yán)重的恐懼心理和不滿情緒，這又反作用了對數(shù)學(xué)的害怕和反感，真是一件很悲哀的事情。

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對《同濟(jì)高數(shù)》的意見

實(shí)際上，《同濟(jì)高數(shù)》是非常抽象的，而且脫離實(shí)際的。從目錄來看，似乎完整的覆蓋了整個(gè)《CALCULUS》體系，但是在幾乎所有的關(guān)鍵點(diǎn)上，同濟(jì)的編者并沒有用心處理，或者說，至少沒有從學(xué)生的角度去思考?？梢哉f一切知識都是：“點(diǎn)到為止，泛而不精”。全書語言都過于機(jī)械數(shù)字化，當(dāng)然內(nèi)容都是正確的，也沒有明顯錯(cuò)誤，但正是這種”中庸精神“，少了一份靈氣，少了一份讓學(xué)生加深理解的輔助材料。要復(fù)制公式誰不會，我可以用幾頁A4紙把所有公式都寫出來，難道這樣就代表整個(gè)《微積分》了嗎？往往是在公式之外的地方，在書本留白的邊緣，在最細(xì)節(jié)的地方，最難的地方，最抽象的地方，最需要descriptive statement 的地方才能看出一個(gè)作者的功力是否深厚，學(xué)問是否到家。“舉重若輕”，是對一個(gè)學(xué)者的最高的贊譽(yù)和評價(jià)，可惜國內(nèi)教材和教授們在這個(gè)方面，還有很長的路要走呢。

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《同濟(jì)高數(shù)》用很準(zhǔn)確的語言把極限“D-E”定義擺出來，但是沒有說明這個(gè)定義的來龍去脈，因此很多學(xué)生都看不懂，甚至相當(dāng)一部分學(xué)生都無法準(zhǔn)確發(fā)音 delta -epislon，更別說理解到“為什么要用D-E來代表極限？不能用其他符號嗎？”。而實(shí)際上 D-E 在古希臘字母中僅僅表示字母表的第四個(gè)和第五個(gè)字母，沒有任何特殊的含義，主要是ABC 都被歐幾里得霸占在幾何學(xué)里，沒辦法用了，被迫無奈采用了 D-E。

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而在美國教材中，原作者用了一大段很簡單的語言和幾幅圖片，將極限進(jìn)行了解釋“Limit is an active approachingprocess, it is not a still real-valued number nor variable, no matter how closeyou are, you will never reach that target ”。極限這個(gè)概念在牛頓---萊布尼茨的時(shí)代還沒有出現(xiàn)，因?yàn)闃O限涉及到的數(shù)學(xué)原理其實(shí)很復(fù)雜，僅僅是“連續(xù)性”和“光滑性”這兩個(gè)看起來很簡單的名詞，就讓整整一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家廢寢忘食，夜以繼日，才得出結(jié)論。

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而至于我們今天看到的D-E定義，更是牛頓死后近兩百年才被德國數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯提出，因此美版教材普遍都不要求“證明”，只要求“了解”極限的意識形態(tài)?！锻瑵?jì)高數(shù)》對于一元微積分幾乎完全沒有實(shí)例，而對于極端重要的sinhx，coshx，更是只有寥寥幾頁紙，并且還帶了一個(gè)星號，給人一種“欲練此功，必先自宮”的恐懼，sinhx,coshx 就是由 E^X 跟它的反函數(shù)E^(-X)進(jìn)行線性組合得到的，簡單吧？但是同濟(jì)直接忽略了 y=e^x 的教學(xué)，實(shí)際上 y=e^x 是微積分中最簡單，也是最重要的函數(shù)族。正因?yàn)檫@個(gè)特點(diǎn)，對它們的求導(dǎo)/求積就非常簡單，特別是后期學(xué)習(xí)無窮級數(shù)，泰勒展開式，向量微積分，開普勒三大定理，概率的MGF，都時(shí)時(shí)刻刻體現(xiàn)出 y=e^x 的巨大威力。

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更嚴(yán)重的問題是，同濟(jì)和浙大的編者，都用了反人類的思維方法來開展教學(xué)。比如對y=x^n的求導(dǎo)教學(xué)，同濟(jì)是直接拿定義出來，先把它證明了，再舉例告訴學(xué)生這個(gè)定理可以直接使用。臺下的學(xué)生一臉問好……

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難道大家不會覺得這是跟正常思維相反嗎？美版教材就是先帶領(lǐng)我們學(xué)會y=1的求導(dǎo)，然后y=x的求導(dǎo)，然后y=x^2的求導(dǎo)，然后y=x^3的求導(dǎo)，然后作者Stewart循循善誘地問同學(xué)說"nowdo you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe thederivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?"最后他才會擺出嚴(yán)密的定義，并證明。此時(shí)，學(xué)生也在過程之中學(xué)會了“由特殊到一般，再由一般到特殊”這樣一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思維。相對應(yīng)的求積也一樣，先計(jì)算y=1的積分，然后y=x的積分，然后y=x^2的積分，然后y=x^3的積分，最后再問學(xué)生"now do you see any pattern among these process ?Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what abouty=x^n?" ?Stewart從來不會直接甩出一堆晦澀的證明，而是先從幾個(gè)簡單的例子，引導(dǎo)學(xué)生去 GUESS 這樣的結(jié)論是否具有一般性，并且證明自己的GUESS 是對的還是錯(cuò)的。Stewart 所用的例子都很簡單，并沒有太多的技巧和套路，但是這樣的效果卻非常好，由淺入深的幫助學(xué)生"explore the unknown"，這才是一名優(yōu)秀的老師所應(yīng)有的態(tài)度和水平。

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多年后，或許你會忘記多元積分的公式，你也會忘記Laplace， Fourier，Taylor的公式，但只要你還記得推理的方法，你就很容易在幾分鐘內(nèi)完成這一個(gè)過程。李開復(fù)曾經(jīng)說到“忘掉你所學(xué)的一切公式和定理，如果你還能利用自己的理解去推理出來，那就說明你的學(xué)問已經(jīng)到家了?！?對這句話，本人無比贊同。

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美版教材同時(shí)附帶了大量的一元微積分習(xí)題，只列舉簡單的入門習(xí)題：

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（1）固定的魚塘里放入一定數(shù)量的魚苗，在足夠營養(yǎng)下，魚苗不會無限增長，而是指數(shù)增長，利用微積分知識，就可以求的相應(yīng)的增長數(shù)量。?????

（2）博爾特在一次110米欄比賽中，總用時(shí)12秒，那么問你，他在4.5秒的時(shí)候，具體的瞬間速度是多少？同樣前提條件下，博爾特在8.5秒的時(shí)候，已經(jīng)總共跑了多少米？最后就會問，有什么方式把上面兩個(gè)不相干的問題聯(lián)系起來？????????

（3）某降血壓的藥物，給高血壓病人吃了后，檢測得血壓下降的速度與藥物濃度有直接關(guān)系，利用微積分就可以求得，吃多少的藥物，才是有效的安全范圍。????????

（4）化學(xué)反應(yīng)中，某元素反應(yīng)時(shí)間跟元素濃度呈正比關(guān)系，但是明顯不是普通的線性關(guān)系，利用微積分，就可以求的某時(shí)間的濃度，或者完全反應(yīng)所需的時(shí)間。??????

（5）發(fā)射地球同步衛(wèi)星，需要多少做功，某瞬間需要多大的速度，如何確定速度跟做功之間的關(guān)系，在簡易條件下如何檢驗(yàn)相對論的正確性。??????

（6）水面的波浪從中心點(diǎn)向外擴(kuò)張，呈 sinhx 的軌跡；而懸鏈線的受力情況，卻是呈coshx的軌跡，試用微積分知識進(jìn)行簡單說明。??????

（7）流體通過某管道時(shí)，其靠近管壁的流體速度會因?yàn)樽枇Χp慢，中心部分由于阻力較小而速度加快，試用微積分知識來解釋為什么。

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當(dāng)然還有大量的變速的位移，變力做工，經(jīng)濟(jì)學(xué)的邊際效應(yīng)，價(jià)格彈性，資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM, WACC），旋轉(zhuǎn)體的體積，等等都是《同濟(jì)高數(shù)》所缺少的實(shí)際應(yīng)用。正是因?yàn)檫@些栩栩如生的例子，學(xué)生才能深刻理解到微積分對于現(xiàn)代生活的巨大改變和意義。

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否則，假如僅僅是把純粹的數(shù)字翻來翻去，求導(dǎo)/求積，學(xué)生都會了，那然后呢？難道學(xué)了微積分就是來做一個(gè)人工計(jì)算器嗎？國內(nèi)教材總是直接叫學(xué)生套用某某公式解題目，而忽略了公式之外的邏輯理解和推到能力，美版教材就基本相反，很強(qiáng)調(diào)對基本公式的推到和歸納能力，而降低對公式本身的依耐性。這是兩種截然不同教育理念的沖突。

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國內(nèi)教材就像（授人與魚），給你一堆公式和定理，讓你照著用。美版教材就像（授人與漁）給你一種發(fā)現(xiàn)公式和定理的思維，讓你學(xué)會自己歸納總結(jié)。它首先就會告訴我們：《微分學(xué)》研究“instantaneous,incremental and related changes” 的問題；而《積分學(xué)》研究“outputfrom irregular input ”的問題。《微積分》的本質(zhì)就是研究"activevariable"的問題，教材特別多次強(qiáng)調(diào)“thesignificant difference between calculus and algebra and geometry is thatcalculus is dealing with ACTIVE/MOVING variable and algebra/geometry is workingon still variable”.

對同濟(jì)《線性代數(shù)》，浙大《概率統(tǒng)計(jì)》的意見

這兩套教材也是被國人視為瑰寶，敬而遠(yuǎn)之，但是相當(dāng)大量的學(xué)生反映：“《概率統(tǒng)計(jì)》由于比較具體，還勉強(qiáng)看得懂。但是《現(xiàn)代》實(shí)在太抽象，所以很多學(xué)生反應(yīng)無法理解”。因?yàn)檫@兩套教材也十分抽象和理論化，缺少很重要的PREFACE，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之前能對本學(xué)科有一個(gè) FRAMEWORK 上的把握和掌控，基本上看完了也不知所云。

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美版教材無論如何都會有這些東西，并且開篇就告訴你《線代》研究的對象是“vector, especially COLUMN vector”，并不是所謂的“matrix”或者“determinant”或者“eigenvalue”，并在一開始就對向量進(jìn)行了細(xì)致的教學(xué)，從加法、減法，二維圖示，三維圖示，到dotproduct，到cross product，到matrix，到determinant，最后才是水到渠成地引入matrix as linear transformation。非理工科的學(xué)生，學(xué)到這里就差不多了，后面vector space 和 orthogonallity ,比較抽象，難度也大，可以有選擇地放棄。

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至于最重要的rank , nuliity , dimension ,同濟(jì)并沒有說清楚。如果是一維的，那就是兩個(gè)向量共線；二維的，那就是兩個(gè)向量形成一個(gè)四邊形；三維的，那就是三個(gè)向量形成一個(gè)體積；四維以上的，照樣是體積，但是一般不討論。而所有的“行列式”、“矩陣”、“秩”、“通解”、“特解”、“特征向量”，“特征值”，等等名詞，都是rref 后圍繞COLUMNvector 展開的運(yùn)算而已。但是由于《同濟(jì)線代》根本沒有這些基礎(chǔ)知識做鋪墊，導(dǎo)致學(xué)生基本看不懂教材的內(nèi)容。就相當(dāng)于：讓學(xué)生去建造一棟摩天大樓，但是不讓你打地基，直接就在平地施工建造第一層。實(shí)際上非理工類本科階段的《線性代數(shù)》是非常簡單的，是最基礎(chǔ)的加減乘而已，但是（很多）學(xué)生卻說不清楚 columnspace ?和 row space 的區(qū)別，這就直接導(dǎo)致后期學(xué)習(xí)捉襟見肘，舉步維艱。

浙大的《概率統(tǒng)計(jì)》相對來說比同濟(jì)優(yōu)秀太多了，但還是存在非常致命的缺點(diǎn)。首先，是體系太混亂，竟然對于discrete/continuous RV 的最基礎(chǔ)術(shù)語(pmf, pdf,cdf)都欠缺完整。其次，是教學(xué)太淺顯，所有的實(shí)例都是一筆帶過，對于大名鼎鼎的Poisson（），和Exponential () 甚至都沒有說明白之間的微妙關(guān)系，簡直不如維基百科。

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美版的《概率與統(tǒng)計(jì)》對一維的變量分布進(jìn)行了非常細(xì)致的教學(xué)，五種discrete/continuous RV ，及其相關(guān)的mean，variance，median, skewness。每一種分布都配了至少五道例題，每到例題都有詳細(xì)的解答思路和完整的mathmatical induction，幾乎占據(jù)了一半的教材內(nèi)容，并附帶有非常豐富的課后練習(xí)。而對于更加復(fù)雜的二維變量，及其mean，cor-variance，co-relation,教材反而用了較少的版面，因?yàn)槎S不過是兩個(gè)一維變量圍成的一個(gè)面積而已，其他并無明顯差異，只要先扎扎實(shí)實(shí)學(xué)好一維的，二維的問題就變得很簡單。美版教材特別說明了幾個(gè)問題“Poissondistribution looks very complicated at first, but it is actually the discreteversion of Exponential distribution, which is very easy to calculate. ButExponential distribution, together with its brother Erlang distribution, isalso a simplified version of Gamma distribution. But the most interestingfinding is that the Chi-squared distribution is a special case of Gammadistribution as well as a special case of Norma distribution, which means tosome extent, all the important distributions can be related to Normaldistribution ! ” 其實(shí)越是學(xué)到后面，越會發(fā)現(xiàn)“向量”的重要性，它即出現(xiàn)在《線代》，也出現(xiàn)在《概率》，更出現(xiàn)在《高等微積分》中，可以說“向量”，是連接“可感知世界”與“不可感知世界”的橋梁，是數(shù)學(xué)的“核武器”。

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看完美國教材只有一個(gè)感受：真正好的教育是將復(fù)雜的東西簡化，強(qiáng)化基礎(chǔ)概念和實(shí)際應(yīng)用，弱化具體計(jì)算和邏輯證明，最終讓普通學(xué)生也可掌握相對深奧的理論知識，并迅速轉(zhuǎn)入實(shí)際應(yīng)用。國內(nèi)的教育正好相反：強(qiáng)化具體計(jì)算和邏輯證明，卻弱化了基礎(chǔ)概念和實(shí)際應(yīng)用，最終生產(chǎn)了許多解題高手，但他們完全不懂這些數(shù)學(xué)“有什么用？”。

教材推薦

以下教材是全英文的，對英語有較高的要求。當(dāng)然，優(yōu)秀的教材有很多，我只列舉自己看過，并且給予好評的三本基礎(chǔ)教材。他們難度適中，編寫合理，循循漸進(jìn)，很適合基礎(chǔ)較差的經(jīng)管類、或者理工科的大學(xué)生。

如果是初學(xué)者，請一定按照“微積分---概率論---線性代數(shù)”的流程來學(xué)習(xí)，因?yàn)椤扒髮?dǎo)/求積”的運(yùn)算是后期概率運(yùn)算的基礎(chǔ)。但是在《概率統(tǒng)計(jì)》和《線代》中，后面幾章難度大，并且跟其他學(xué)科聯(lián)系較少，所以一般學(xué)生看看即可，不需深入。由于《微積分》徹底催化了物理學(xué)和化學(xué)，因此順帶推薦三套優(yōu)秀的理科教材。如果把《微積分》學(xué)好，再去學(xué)物理學(xué)或者化學(xué)，那幾乎是摧枯拉朽、風(fēng)卷殘?jiān)埔话愕娜菀?。我是人大畢業(yè)的，看到母校引進(jìn)并且出版了如此優(yōu)秀的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教材，感到非常高興和自豪?？梢?，不僅僅是我一個(gè)人，而是更多專家學(xué)者，都深深感到了中美高等教育的巨大差距。感謝母校提供的雙語教材，高瞻遠(yuǎn)矚，可謂居功至偉。

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《微積分》 ?

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

《線性代數(shù)

《基礎(chǔ)物理學(xué)》 ?

《大學(xué)物理》 ?

《基礎(chǔ)化學(xué)》

《大學(xué)化學(xué)》

《基礎(chǔ)生物學(xué)》

《大學(xué)生物學(xué)》

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同時(shí)推薦一套相對來說比較“偏門的”書，是因?yàn)檫@些書雖然對考試沒用，但是對于理解本學(xué)科，具有巨大的意義。對于特別重要的核心內(nèi)容有深刻的解釋，從時(shí)間軌跡來說明科學(xué)家是如何把生活中的“現(xiàn)象”，高度提煉成為具體的“公式”，并用這些公式來改變了整個(gè)世界。推薦給有志于深入學(xué)習(xí)的學(xué)生看一看，雖然數(shù)字論證比較晦澀，但是可以不看數(shù)學(xué)證明，僅看發(fā)展過程，當(dāng)作小說讀一遍也會受益匪淺。

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《數(shù)學(xué)史》

《化學(xué)簡史》

《物理學(xué)史》

《科學(xué)史》

《科學(xué)發(fā)現(xiàn)者：物理原理與問題》

《科學(xué)發(fā)現(xiàn)者：化學(xué)概念與應(yīng)用》

《科學(xué)發(fā)現(xiàn)者：生物生命的動力》

《科學(xué)發(fā)現(xiàn)者：地理環(huán)境與宇宙》

結(jié)語

由于能力有限，小生不可能幾句話就總結(jié)大學(xué)數(shù)學(xué)，不可能告訴別人如何短期內(nèi)成為學(xué)霸，因?yàn)椤洞髮W(xué)數(shù)學(xué)》作為一門高度完整嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，終究要靠埋頭苦讀和日夜刷題才能學(xué)到真功夫。小生衷心地希望這篇短文能改變你們對數(shù)學(xué)的偏見和仇恨，為你們提供一個(gè)可以前進(jìn)的方向，讓高數(shù)不再那么高不可攀，讓所有人都感受到數(shù)學(xué)之藝術(shù)和威力。

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倘若將學(xué)習(xí)比作練武的話，那么教材就是練功秘籍，老師就是練功師傅。優(yōu)秀的秘籍和師傅能讓你事半功倍、文武雙全，而劣質(zhì)的秘籍和師傅則讓你走火入魔、身敗名裂。好了，寫到這也差不多了。秘籍已經(jīng)給你們提供在上面，但路始終在自己腳下，最終修煉成為丐幫幫主，亦或星宿老仙，就看各位自己了。

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我在畢業(yè)后的工作里，大學(xué)數(shù)學(xué)并沒有太多直接發(fā)揮的途徑。幾乎所有的計(jì)算和設(shè)計(jì)，都交給了計(jì)算機(jī)處理。但是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中所得到的“嚴(yán)密的推理”和“精確的結(jié)構(gòu)”和“頑強(qiáng)的意志”，這三樣?xùn)|西將會在你們的職業(yè)生涯發(fā)揮巨大的無形價(jià)值，無論你的職業(yè)，專業(yè)，性別，年紀(jì)，當(dāng)你以后遇到困難和挫折，靜下來想一想，當(dāng)年數(shù)學(xué)都可以掌握，難道還會懼怕眼前的茍且嗎？

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說到底，數(shù)學(xué)給你帶來的，其實(shí)是眾神之上的“信心”。

英雄們，再會！

—?THE END —

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