名人論數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)的本質(zhì)

任何一門(mén)數(shù)學(xué)分支，不管它如何抽象，總有一天會(huì)在現(xiàn)實(shí)世界中找到應(yīng)用.

羅巴切夫斯基(Н.И.лобачевский，1792～1856，俄國(guó)數(shù)學(xué)家)是非歐幾何的創(chuàng)始人之一，但他的工作在其所處的時(shí)代并未獲得贊賞，反而遭到嘲弄和打擊.去世后不久，人們發(fā)現(xiàn)大數(shù)學(xué)家高斯的手稿中記載了關(guān)于非歐幾何的同類成果，他的思想才逐漸被接受.羅巴切夫斯基是一位杰出的教育家和管理者，創(chuàng)立了喀山數(shù)學(xué)學(xué)派和喀山數(shù)學(xué)教育學(xué)派，在無(wú)窮級(jí)數(shù)論（特別是三角級(jí)數(shù)）、積分學(xué)和概率論等方面均有出色的工作.羅巴切夫斯基反對(duì)康德的唯心主義觀點(diǎn)，認(rèn)為人們頭腦里產(chǎn)生的概念來(lái)源于客觀世界的物質(zhì)運(yùn)動(dòng).數(shù)學(xué)概念從現(xiàn)實(shí)世界抽象和概括出來(lái)，反映了諸多客觀事物數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)和共性.因此不管數(shù)學(xué)理論如何抽象，一定會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中得到應(yīng)用.事實(shí)也是如此，他創(chuàng)造的非歐幾何已在描述宇宙空間結(jié)構(gòu)中得到某些應(yīng)用.

使數(shù)學(xué)脫離實(shí)際需要，就好比把母牛關(guān)起來(lái)不讓她接觸公牛.

這是切比雪夫批評(píng)那些輕視數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)家時(shí)說(shuō)出的一句非常經(jīng)典的話.切比雪夫(П.Л.Чебьшев，1821～1894，俄國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家)是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)始人，其特點(diǎn)是將數(shù)學(xué)理論與自然科學(xué)技術(shù)的實(shí)踐緊密結(jié)合，這使得他的許多科學(xué)創(chuàng)造都具有極其重要的實(shí)用價(jià)值.例如，他從研究機(jī)誡原理出發(fā)，建立了用多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的理論，創(chuàng)立了新的數(shù)學(xué)分支.關(guān)于科學(xué)與實(shí)踐的關(guān)系，切比雪夫曾指出：“科學(xué)在實(shí)踐中獲得了正確的領(lǐng)導(dǎo)地位”，“科學(xué)本身在實(shí)踐的影響下發(fā)展，又為實(shí)踐開(kāi)發(fā)了新的研究對(duì)象” .

盡管評(píng)論家大聲叫喊：2加2應(yīng)等于5；業(yè)余藝術(shù)家傾情哭訴：2加2應(yīng)等于3；對(duì)數(shù)學(xué)家而言，2加2永遠(yuǎn)等于4.

數(shù)學(xué)最顯著的特點(diǎn)是理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，一般從兩個(gè)方面考慮：一是數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)格性，二是數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.惠斯勒的這句名言恰好幽默地說(shuō)明了后者.惠斯勒(J．M．Whistler，1834～1903，美國(guó)畫(huà)家)早年考入西點(diǎn)軍校，I855年去巴黎，1859年定居英國(guó)，擔(dān)任過(guò)不列顛美術(shù)家協(xié)會(huì)主席.代表作《在鋼琴旁》、《白衣女郎》曾引起轟動(dòng).晚年作品追求東方趣味，畫(huà)中少女常穿日本和服并擺上幾件中國(guó)瓷器.作品還有銅版畫(huà)《法國(guó)組畫(huà)》、肖像畫(huà)《母親》及組畫(huà)《泰晤士河》等.

在大多數(shù)學(xué)科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毀，一個(gè)人的創(chuàng)造被另一個(gè)人所破壞；唯獨(dú)數(shù)學(xué)，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓.

在講解數(shù)學(xué)科學(xué)的特點(diǎn)時(shí)，一般人津津樂(lè)道的有三點(diǎn)：高度的抽象性、體系的嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用的廣泛性，往往忽略了它的第四個(gè)特點(diǎn)：發(fā)展的連續(xù)性.對(duì)此，漢克爾提出了上述精彩論述，這也是數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)的顯著差異.漢克爾(H. Hankel，1839～1873，德國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家)在復(fù)數(shù)和超復(fù)數(shù)理論、函數(shù)論、數(shù)學(xué)史等方面皆有所貢獻(xiàn).他修正了形式律的皮科克不變性，證明了任何超復(fù)數(shù)系都不能滿足全部普通算術(shù)定律，強(qiáng)調(diào)點(diǎn)集的測(cè)度性質(zhì)，系統(tǒng)闡述了黎曼可積性準(zhǔn)則，討論了函數(shù)的分類及各類函數(shù)的可積性，并提出構(gòu)造以有理點(diǎn)為奇點(diǎn)函數(shù)的方法.漢克爾是著名的數(shù)學(xué)史家，其著作《近幾世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展》、《古代與中世紀(jì)數(shù)學(xué)史》等享有盛名，受到數(shù)學(xué)史家康托爾、卡約里、希思等的重視.

數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由.

康托爾（G.F.L.P.Cantor，1845～1918，德國(guó)數(shù)學(xué)家）注意到在數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中往往有些理論不能被普遍接受，如概率論.于是，他提出“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由”，即不必受傳統(tǒng)觀念束縛，并于19世紀(jì)70年代提出無(wú)窮集合論.這種富有革命性的學(xué)術(shù)思想遭到同時(shí)代一些學(xué)者的反對(duì)和嘲笑，但也得到幾位大數(shù)學(xué)家的支持，如戴德金、魏爾斯特拉斯、希爾伯特等.自20世紀(jì)20年代以來(lái)，集合論已享有很高的聲譽(yù)，正如希爾伯特在1926年的一次講話中強(qiáng)調(diào)指出的：“沒(méi)有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)建的樂(lè)園中趕走！”羅素則把康托爾的工作稱頌為“可能是這一時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作” .

對(duì)于任何一種將一個(gè)學(xué)科與它的歷史割裂開(kāi)來(lái)的企圖，我確信，沒(méi)有哪一個(gè)學(xué)科比數(shù)學(xué)的損失更大.

與其他自然科學(xué)相比，數(shù)學(xué)的獨(dú)特之處在于它是積累的科學(xué)，它本身就是歷史的記錄，或者說(shuō)數(shù)學(xué)的過(guò)去融合于現(xiàn)在與未來(lái)之中.正是為了強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史的重要性，格萊舍說(shuō)出以上名言.格萊舍(J.W.L．Glaisher，1848～1928，英國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家)1867年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院讀書(shū)，畢業(yè)后留校任教.一生未婚，致力于科學(xué)研究，共發(fā)表近400篇文章和筆記.1871年擔(dān)任《數(shù)學(xué)信使》編輯，1878年兼任《數(shù)學(xué)季刊》編輯.主要貢獻(xiàn)在特殊函數(shù)（特別是橢圓模函數(shù)）理論和數(shù)學(xué)史等方面，另外對(duì)天文學(xué)也有研究.1884年任倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)，1901年任皇家天文學(xué)會(huì)理事長(zhǎng).他還是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)及其他若干科學(xué)團(tuán)體成員.

數(shù)學(xué)是最古老的科學(xué)之一，然而它又是最活躍的科學(xué)之一，因?yàn)樗牧α縼?lái)自永葆青春的活力.

18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家曾對(duì)未來(lái)的數(shù)學(xué)感到茫然，1781年拉格朗日給達(dá)朗貝爾的信頗有代表性：“在我看來(lái)，似乎（數(shù)學(xué)的）礦井已經(jīng)挖掘得很深了，除非發(fā)現(xiàn)新的礦脈，否則遲早勢(shì)必放棄它.”然而數(shù)學(xué)在新世紀(jì)里的確發(fā)現(xiàn)了新的礦脈，產(chǎn)生了一大批新的分支.不僅如此，數(shù)學(xué)組織與刊物迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)家人數(shù)急劇增長(zhǎng)，數(shù)學(xué)思想日新月異，數(shù)學(xué)應(yīng)用日益廣泛.數(shù)學(xué)“不斷地用它扎在思維和自然中的深根獲取營(yíng)養(yǎng)”，正如福塞思形容的那樣“它的力量來(lái)自永葆青春的活力” .福賽思（A.R.Forsyth，1858～1942，英國(guó)數(shù)學(xué)家）1877年就學(xué)于劍橋大學(xué)三一學(xué)院.1881年畢業(yè)時(shí)以數(shù)學(xué)優(yōu)異成績(jī)留校執(zhí)教.1886年當(dāng)選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員.他的名作《函數(shù)論》被認(rèn)為是自牛頓《原理》以來(lái)對(duì)英國(guó)數(shù)學(xué)影響較大的專著之一，對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)代化起了引導(dǎo)作用.另外著有《變分學(xué)》、《理想空間的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)》等書(shū).

這是一個(gè)可靠的規(guī)律，當(dāng)數(shù)學(xué)或哲學(xué)著作的作者以模糊深?yuàn)W的話寫(xiě)作時(shí)，他是在胡說(shuō)八道.

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)在于簡(jiǎn)潔，即將最復(fù)雜的東西用最簡(jiǎn)單明了的內(nèi)容來(lái)表示，而不是使用模糊深?yuàn)W的語(yǔ)言，這就是懷特黑德的觀點(diǎn).懷特黑德(A.N.Whitehead．1861～1947，英國(guó)邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家)1884年畢業(yè)于劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1905年獲科學(xué)博士學(xué)位.先后任教于劍橋大學(xué)三一學(xué)院、倫敦大學(xué)學(xué)院和哈佛大學(xué).曾獲多種獎(jiǎng)金，被選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員.懷特黑德主要貢獻(xiàn)在數(shù)理邏輯和哲學(xué)方面，他和羅素被認(rèn)為是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派之一的邏輯主義學(xué)派的創(chuàng)始人.他們合作的《數(shù)學(xué)原理》一書(shū)對(duì)邏輯主義學(xué)派的基本觀點(diǎn)進(jìn)行了論述，現(xiàn)已成為重要的歷史文獻(xiàn).

數(shù)學(xué)不是算賬和計(jì)數(shù)的技術(shù)，正如建筑學(xué)不是造磚伐木的技術(shù)，繪畫(huà)不是調(diào)色的技術(shù)，地質(zhì)學(xué)不是敲碎巖石的技術(shù)，解剖學(xué)不是屠宰的技術(shù)一樣.

這是凱澤理解了數(shù)學(xué)的本質(zhì)后，深入淺出說(shuō)出的一句名言.凱澤(C.J.Keyser，1862～1947，美國(guó)數(shù)學(xué)家)1883年畢業(yè)于俄亥俄州師范大學(xué).1901年獲博士學(xué)位后在華盛頓大學(xué)、哥倫比亞大學(xué)等校任教，是美國(guó)科學(xué)發(fā)展協(xié)會(huì)和美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)成員.著作有《新無(wú)窮與舊神學(xué)》、《數(shù)學(xué)哲學(xué)》等，對(duì)幾何、邏輯和數(shù)學(xué)哲學(xué)都有貢獻(xiàn).

數(shù)學(xué)在用最不顯然的方式證明最顯然的事情.

波利亞（G.Polya，1887～1985，匈牙利一美國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家）早年在布達(dá)佩斯、維也納、格丁根、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué).1928年任瑞士聯(lián)邦工學(xué)院數(shù)學(xué)教授.1940年移居美國(guó)，在斯坦福等大學(xué)執(zhí)教.先后成為法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)研究院、匈牙利科學(xué)院、美國(guó)科學(xué)院等成員.他在概率論、組合數(shù)學(xué)、圖論等多個(gè)領(lǐng)域有建樹(shù)，而影響最大的是他豐富的數(shù)學(xué)教育思想.他十分重視從小培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，始終把高深的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)的普及教育結(jié)合起來(lái).相關(guān)名著《怎樣解題》(1944)、《數(shù)學(xué)與合情推理》(1954)和《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》(1962～1965)風(fēng)靡世界，多次修訂，并被譯為多種文字.其中僅中文就有數(shù)個(gè)版本，促進(jìn)了我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革和解題研究水平的提高.

嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家，就如道德之于人.

韋伊（A.Weil, 1906-1998，法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家）是20世紀(jì)最有影響的純粹數(shù)學(xué)家之一，是公認(rèn)的布爾巴基學(xué)派的精神領(lǐng)袖.20世紀(jì)30年代末完成專著《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》，其中反映出的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義體現(xiàn)了布爾巴基學(xué)派的觀點(diǎn)，開(kāi)辟了群上調(diào)和分析的新領(lǐng)域.40年代，建立了嚴(yán)整的代數(shù)幾何學(xué)體系：1946年出版的《代數(shù)幾何學(xué)基礎(chǔ)》建立的代數(shù)幾何方法對(duì)解決代數(shù)數(shù)論問(wèn)題具有重要意義.1948年提出了韋伊猜想.這些工作推動(dòng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展.1979年韋伊榮獲沃爾夫獎(jiǎng)，1994年榮獲基礎(chǔ)科學(xué)方面的京都獎(jiǎng).在韋伊看來(lái)嚴(yán)格是數(shù)學(xué)家最根本的素養(yǎng)，在上述名言中他以類比的方法形象地揭示了“嚴(yán)格”的重要性.

數(shù)學(xué)的真諦就在于不斷尋求用越來(lái)越簡(jiǎn)單的方法證明定理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

加德納(M.Gardner，1914～2010，美國(guó)數(shù)學(xué)科普作家)被譽(yù)為“數(shù)學(xué)園丁”，在雜志《科學(xué)美國(guó)人》每月一篇的專欄發(fā)表數(shù)學(xué)科普文章持續(xù)20年以上.他堅(jiān)信自己所說(shuō)的這一論斷，所以創(chuàng)造的數(shù)學(xué)趣題往往出人意料，但又非常簡(jiǎn)單而合乎邏輯.他的作品也以深入淺出著稱，使許多讀者陶醉于數(shù)學(xué)樂(lè)園之中，并在改善數(shù)學(xué)的可接受性方面做出了重要貢獻(xiàn).其中最著名的有《關(guān)于無(wú)窮相對(duì)論》、《數(shù)學(xué)的奇跡和秘密》、《數(shù)學(xué)游戲和娛樂(lè)>、《數(shù)學(xué)的余暇》、《數(shù)學(xué)故事>等.譯成中文的有《啊哈！靈機(jī)一動(dòng)》、《引人人勝的數(shù)學(xué)趣題》、《意料之外的絞刑和其他數(shù)學(xué)娛樂(lè)》、《矩陣博士的魔法數(shù)》等.

—?THE END —

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