算法理解|從頭開始理解梯度提升算法

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作者：Prince Grover

編譯：ronghuaiyang

簡化復(fù)雜的算法

動機

盡管大多數(shù)的Kaggle競賽的獲勝者使用了多個模型的集成，這些集成的模型中，有一個必定是各種變體的梯度提升算法。舉個例子，Kaggle競賽：Safe Driver Prediction：https://www.kaggle.com/c/porto-seguro-safe-driver-prediction/discussion/44629#250927，Michael Jahrer的方案，使用了表示學(xué)習(xí)，使用了6個模型的綜合。1個LightGBM和5個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。盡管他的成功歸功他使用了結(jié)構(gòu)化的數(shù)據(jù)進行了半監(jiān)督學(xué)習(xí)，梯度提升算法也實現(xiàn)了非常重要的部分。

盡管GBM使用的非常廣泛，許多使用者仍然把這個東西當(dāng)做一個黑盒子算法，只是使用預(yù)編譯好的庫跑一跑。寫這篇文章的目的是簡化復(fù)雜的算法，幫助讀者可以直觀的理解算法。我會解釋原汁原味的梯度提升算法，然后分享一些變種的鏈接。我基于fast.ai的庫做了一個決策樹的代碼，然后構(gòu)建了一個自己的簡單的基礎(chǔ)的梯度提升模型。

Ensemble, Bagging, Boosting的簡單描述

當(dāng)我們使用一個機器學(xué)習(xí)技術(shù)來預(yù)測目標(biāo)變量的時候，造成實際值和預(yù)測值之間的差別的原因有噪聲，方差和偏差。集成方法能夠幫助減少這些因素（除了噪聲，不可約誤差）。

Ensemble是幾個預(yù)測器在一起（比如求平均），給出一個最終的結(jié)果。使用ensemble的原因是許多不同的預(yù)測器預(yù)測同一個目標(biāo)會比單個預(yù)測器的效果要好。Ensemble技術(shù)又可以分成Bagging和Boosting。

• Bagging是一個簡單的ensemble的技術(shù)，我們構(gòu)建許多獨立的預(yù)測器/模型/學(xué)習(xí)器，通過模型平均的方式來組合使用。（如權(quán)值的平均，投票或者歸一化平均）

我們?yōu)槊總€模型使用隨機抽樣，所以每個模型都不太一樣。每個模型的輸入使用有放回的抽樣，所以模型的訓(xùn)練樣本各不相同。因為這個技術(shù)使用了許多個不相關(guān)的學(xué)習(xí)器來進行最終的預(yù)測，它通過減少方差來減小誤差。bagging的一個例子是隨機森林模型。

• Boosting 在對模型進行ensemble的時候，不是獨立的，而是串行的。

這個技術(shù)使用了這樣的邏輯，后面的預(yù)測器學(xué)習(xí)的是前面的預(yù)測器的誤差。因此，觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)在后面模型中的概率是不一樣的，誤差越大，出現(xiàn)的概率越高。（所以觀測數(shù)據(jù)不是基于隨機又放回抽樣bootstrap的方式，而是基于誤差）。預(yù)測器可以從決策樹，回歸器，分類器中選取。因為新的預(yù)測器是從前面的預(yù)測器的誤差中學(xué)習(xí)的，接近實際的預(yù)測只需要更少的時間和迭代次數(shù)。但是我們不得不選擇嚴(yán)格的停止策略，否則可能會出現(xiàn)過擬合。梯度提升算法就是提升算法的一個例子。

Fig 1. Ensembling

Fig 2. Bagging (independent models) & Boosting (sequential models). Reference: https://quantdare.com/what-is-the-difference-between-bagging-and-boosting/

梯度提升算法

梯度提升是一個機器學(xué)習(xí)技術(shù)，用來做回歸和分類的問題，通過組合弱預(yù)測模型如決策樹，來得到一個強預(yù)測模型。（維基百科定義）

監(jiān)督學(xué)習(xí)算法的目標(biāo)是定義一個損失函數(shù)，然后最小化它。我們來看看，數(shù)學(xué)上梯度提升算法是怎么工作的。比如我們使用均方誤差（MSE）作為損失函數(shù)：

我們希望我們的預(yù)測讓我們的損失函數(shù)最小。通過使用梯度提升算法，基于一個學(xué)習(xí)率來更新我們的預(yù)測，我們會發(fā)現(xiàn)一個讓MSE最小的值。

所以，我們基本上是在更新預(yù)測，讓殘差的和接近于0（或者最小），這樣預(yù)測的值就和實際的值足夠的接近了。

梯度提升背后的直覺

梯度提升背后的邏輯很簡單，（可以很直觀的理解，不用數(shù)據(jù)公式）。我希望讀這篇文章的人能夠熟悉一下簡單的線性回歸模型。

線性回歸模型的一個基本的假設(shè)是殘差是0，也就是說，參數(shù)應(yīng)該在0的周圍分散。

現(xiàn)在，把這些殘差作為誤差提交到我們的預(yù)測模型中。盡管，基于樹的模型（將決策樹作為梯度提升的基礎(chǔ)模型）不是基于這個假設(shè)，但是如果我們對這個假設(shè)進行邏輯思考，我們也許能提出，如果我們能發(fā)現(xiàn)在0的周圍的殘差一些模式，我們可以利用這個模式來擬合模型。

所以，梯度提升背后的直覺就是重復(fù)的利用殘差中的模式利用弱預(yù)測器來加強模型，讓模型變得更好。一旦我們到了一個階段，殘差不具有任何的模式，無法進行建模，我們就可以停止了（否則會導(dǎo)致過擬合）。從算法的角度講，我們在最小化損失函數(shù)，直到測試損失達到最小。

總結(jié)一下:

• 我們首先使用一個簡單的模型對數(shù)據(jù)進行建模，分析數(shù)據(jù)的誤差。

• 這些誤差表示數(shù)據(jù)點使用簡單的模型很難進行擬合。

• 然后對于接下來的模型，我們特別的專注于將那些難于擬合的數(shù)據(jù)，把這些數(shù)據(jù)預(yù)測正確。

• 最后，我們將所有的預(yù)測器組合起來，對于每個預(yù)測器給定一個權(quán)重。

擬合梯度提升模型的步驟

我們來模擬一些數(shù)據(jù)，如下面的散點圖所示，一個輸入，一個輸出。

上面的數(shù)據(jù)是通過下面的python代碼生成的。

  x = np.arange(0,50)
  x = pd.DataFrame({'x':x})
  
  # just random uniform distributions in differnt range
  
  y1 = np.random.uniform(10,15,10)
  y2 = np.random.uniform(20,25,10)
  y3 = np.random.uniform(0,5,10)
  y4 = np.random.uniform(30,32,10)
  y5 = np.random.uniform(13,17,10)
  
  y = np.concatenate((y1,y2,y3,y4,y5))
  y = y[:,None]

1. 擬合一個簡單的線性回歸模型或者決策樹模型（在我的代碼中選擇了決策樹）[x作為輸入，y作為輸出]

  xi = x # initialization of input
  yi = y # initialization of target
  # x,y --> use where no need to change original y
  ei = 0 # initialization of error
  n = len(yi)  # number of rows
  predf = 0 # initial prediction 0
  
  for i in range(30): # loop will make 30 trees (n_estimators). 
      tree = DecisionTree(xi,yi) # DecisionTree scratch code can be found in shared github/kaggle link. 
                                 # It just create a single decision tree with provided min. sample leaf
      tree.find_better_split(0)  # For selected input variable, this splits (<n and >n) data so that std. deviation of 
                                 # target variable in both splits is minimum as compared to all other splits
      
      r = np.where(xi == tree.split)[0][0]   #  finds index where this best split occurs
      
      left_idx = np.where(xi <= tree.split)[0] # index lhs of split
      right_idx = np.where(xi > tree.split)[0] # index rhs of split

2.計算誤差，實際的目標(biāo)值，最小化預(yù)測目標(biāo)值 [e1= y - y_predicted1 ]

3.把誤差作為目標(biāo)值，擬合新的模型，使用同樣的輸入數(shù)據(jù)[叫做e1_predicted]

4. 將預(yù)測的誤差加到之前的預(yù)測之中[y_predicted2 = y_predicted1 + e1_predicted]

5. 在剩下的殘差上擬合另一個模型， [e2 = y - y_predicted2]，重復(fù)第2到第5步，直到開始過擬合，或者殘差的和開始不怎么變換。過擬合可以通過驗證數(shù)據(jù)上的準(zhǔn)確率來發(fā)現(xiàn)。

      # predictions by ith decisision tree
      
      predi = np.zeros(n)
      np.put(predi, left_idx, np.repeat(np.mean(yi[left_idx]), r))  # replace left side mean y
      np.put(predi, right_idx, np.repeat(np.mean(yi[right_idx]), n-r))  # right side mean y
      
      predi = predi[:,None]  # make long vector (nx1) in compatible with y
      predf = predf + predi  # final prediction will be previous prediction value + new prediction of residual
      
      ei = y - predf  # needed originl y here as residual always from original y    
      yi = ei # update yi as residual to reloop

為了幫助理解劃線部分的概念，這里有個鏈接，有完整的梯度提升模型的實現(xiàn) [[Link: Gradient Boosting from scratch]](https://www.kaggle.com/grroverpr/gradient-boosting-simplified/)。????????????

梯度提升樹的可視化工作

藍(lán)色的點（左邊）是輸入（x），紅色的線（左邊）是輸出（y）顯示了決策樹的預(yù)測值，綠色的點（右邊）顯示了第i次迭代的殘差vs.輸入（x），迭代表示擬合梯度提升樹的了序列的順序。

Fig 5. Visualization of gradient boosting predictions (First 4 iterations)

Fig 6. Visualization of gradient boosting predictions (18th to 20th iterations)

我們發(fā)現(xiàn)過了20個迭代，殘差變成了0附近的隨機分布（我不會說是隨機正態(tài)分布），我們的預(yù)測也非常接近于實際值。這時可以停止訓(xùn)練模型了，否則要開始過擬合了。

我們來看看，50個迭代之后的樣子：

Fig 7. Visualization of gradient boosting prediction (iteration 50th)

我們發(fā)現(xiàn)，即使是50個迭代之后，殘差vs. x的圖和我們看到的20個迭代的圖也沒太大區(qū)別。但是模型正在變的越來越復(fù)雜，預(yù)測結(jié)果在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上出現(xiàn)了過擬合。所以，最好是在20個迭代的時候就停止。

用來畫圖的python代碼。

      # plotting after prediction
      xa = np.array(x.x) # column name of x is x 
      order = np.argsort(xa)
      xs = np.array(xa)[order]
      ys = np.array(predf)[order]
      
      #epreds = np.array(epred[:,None])[order]
  
      f, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, sharey=True, figsize = (13,2.5))
  
      ax1.plot(x,y, 'o')
      ax1.plot(xs, ys, 'r')
      ax1.set_title(f'Prediction (Iteration {i+1})')
      ax1.set_xlabel('x')
      ax1.set_ylabel('y / y_pred')
  
      ax2.plot(x, ei, 'go')
      ax2.set_title(f'Residuals vs. x (Iteration {i+1})')
      ax2.set_xlabel('x')
      ax2.set_ylabel('Residuals')

我希望這個博客可以幫助你對梯度提升算法的工作有一個基本的直覺。為了理解梯度提升回歸算法的細(xì)節(jié)，我強烈建議你讀一讀下面這些文章。

更多有用的資源

1. 我的github倉庫和kaggle的kernel的鏈接，從頭開始GBM

   https://www.kaggle.com/grroverpr/gradient-boosting-simplified/https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/01_Gradient_Boosting_Scratch.ipynb

2. 一個直觀和細(xì)致的梯度提升算法的解釋

   http://explained.ai/gradient-boosting/index.html

3. Fast.ai的github倉庫鏈接，從頭開始做決策樹

   https://github.com/fastai/fastai

4. Alexander Ihler的視頻，這視頻幫我理解了很多。

   https://youtu.be/sRktKszFmSk

5. 最常用的GBM算法

   XGBoost || Lightgbm || Catboost || sklearn.ensemble.GradientBoostingClassifier

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