av无码精品,免费的鸡巴网站,六月婷婷五月丁香,天天天天干,操一操,黄色视频智之星又粗又长又大,日本成人电影在线免费观看,蜜桃AV秘无码一区二区三区

導(dǎo)讀：在本文中我們將討論條件概率：給定結(jié)果受到先前事件影響的概率。

作者：貝內(nèi)迪克特·格羅斯、喬·哈里斯、埃米莉·里爾

來源：大數(shù)據(jù)DT（ID：hzdashuju）

01 三門問題

三門問題來源于一個(gè)被稱作“讓我們做個(gè)交易”的古老游戲節(jié)目中多次上演的一個(gè)場(chǎng)景。雖然這個(gè)場(chǎng)景的設(shè)置在細(xì)節(jié)上各不相同，但總體都差不多。

首先，主持人蒙提霍爾會(huì)選擇一名觀眾來參與這個(gè)游戲。這名觀眾會(huì)看見三副門簾，其中一副門簾的后面會(huì)有一個(gè)值得期待的獎(jiǎng)品（諾加海德革的一整套客廳套裝或一輛汽車），在另外兩副之后是有趣卻沒什么價(jià)值的獎(jiǎng)品，比如山羊。游戲參與者要從三副門簾中選擇其中一副，并且可以獲得這副門簾后的獎(jiǎng)品。

然而此時(shí)，蒙提霍爾會(huì)在揭曉選手所選門簾后面的獎(jiǎng)品之前，打開其中一個(gè)未被選中的門簾，并揭曉門簾后面的山羊。然后，參與者可以堅(jiān)持原來的選擇或換成剩下的那副。問題是：參與者是否要改變呢？每種情況成功的概率是多少？

（注意到蒙提霍爾不是在參與者未選擇的兩扇門中隨機(jī)地選擇，并展示出那個(gè)門后的物品。他總是選取一個(gè)后面是羊的門。所以，如果參與者最初選了一扇有山羊的門，則蒙提霍爾無法選擇打開哪扇門，他只能選擇另一扇有山羊的門。但如果參與者最初選了有汽車的門，則蒙提霍爾可以從剩下的兩個(gè)門中任選一個(gè)打開，此時(shí)他可以隨機(jī)選擇。）

首先要指出的是，如果你堅(jiān)持原來的選擇，那么獲勝的可能性與蒙提霍爾選擇之前一樣：1/3。另外一方面，為了計(jì)算你的選擇改變后選中的概率，我們可以列出選擇改變后的結(jié)果：

你原來的猜測(cè)有1/3的可能性是正確的；在這種情況下你輸了。但是：
你原來的猜測(cè)有2/3的可能性是錯(cuò)誤的；在這種情況下你贏了。

這樣，你的選擇改變獲勝的概率是2/3!

讓我們來試試這個(gè)游戲的一些變形，看看會(huì)是什么結(jié)果。例如，如果有四扇門，后面有一輛汽車和三只山羊。我們玩同樣的游戲：先選一扇門，蒙提霍爾給我們看是一只山羊，那么我們選擇堅(jiān)持還是改變？注意現(xiàn)在有四扇門。在這種情況下，每種選擇的概率是多少？

像之前一樣，如果我們堅(jiān)持原來的選擇，那么有1/4的概率會(huì)贏。如果我們決定選擇剩余兩扇門中的一扇門會(huì)是怎樣？在這種情況下：

你原來的猜測(cè)有1/4的可能性是正確的；在這種情況下你輸了，但是：
你原來的猜測(cè)有3/4的可能性是錯(cuò)誤的。在這種情況下，贏的門是剩下的兩扇中的一個(gè)，那么你有一半的機(jī)會(huì)猜對(duì)。

這樣說吧：你將有3/4一半的可能性是正確的，也就是說3/8的可能性。同樣，比堅(jiān)持原來的選擇要好。

此時(shí)，我們可以考慮n扇門時(shí)的情況，其中一扇門后同樣是汽車，其他n-1扇門后是山羊。如果我們堅(jiān)持原來的選擇，和以前一樣，獲勝的概率是1/n。如果我們選擇改變，邏輯是：

你原來的猜測(cè)有1/n的可能性是正確的；在這種情況下你輸了。
你原來的猜測(cè)有1/n-1的可能性是錯(cuò)誤的。在這種情況下，后面有車的門是剩下的n-2扇中的一個(gè)，那么你有1/(n-2)的機(jī)會(huì)猜對(duì)。

于是你獲勝的概率就是

可以寫成

因?yàn)閚-1/n-2>1，所以我們發(fā)現(xiàn)改變總比堅(jiān)持原來的選擇的獲勝概率1/n好。

我們不得不問：如果有多扇門和多輛汽車會(huì)是怎樣？例如，假設(shè)有5扇門，后面有兩輛車和3只山羊，該堅(jiān)持還是改變？同樣的邏輯仍然適用：如果你堅(jiān)持原來的選擇，獲勝的概率只有2/5。另一方面，如果你選擇改變：

你原來的猜測(cè)有2/5的可能性是正確的。這時(shí)，在蒙提霍爾展示一只山羊之后，剩下的3扇門中有一輛汽車和兩只山羊；在這種情況下，你贏的概率是1/3。
你原來的猜測(cè)有3/5的可能性是錯(cuò)誤的。這時(shí)，剩下的3扇門后有兩輛汽車和一只山羊；在這種情況下，你贏的概率是2/3。

也就是說，2/5的時(shí)候你有1/3的機(jī)會(huì)獲勝；3/5的時(shí)候你有2/3的機(jī)會(huì)獲勝。因此，你獲勝的概率是

此時(shí)，我們可以考慮有任意n扇門和任意k輛汽車的情形。（其實(shí)也不是完全任意的：至少要有3扇門，否則我們不能進(jìn)行這個(gè)游戲；同樣，至少要有兩只山羊，使得無論你選擇哪扇門蒙提霍爾都可以給你展示出一只山羊；換句話說，n≥3且k≤n-2。）在這種情況下，我們堅(jiān)持原來選擇的概率是k/n。另外一方面，如果我們選擇改變，則由前面的邏輯得：

你原來的猜測(cè)有k/n的概率是正確的。在這種情形下，蒙提霍爾給你展示一只山羊后，剩下的n-2扇門中有k-1輛汽車和n-k-1只山羊；相應(yīng)地，你獲勝的概率為(k-1)/(n-2)。另外一方面：
你原來的猜測(cè)有(n-k)/n的概率是錯(cuò)誤的。在這種情形下，剩下的 n-2扇門中有k輛汽車和n-k-2只山羊；你獲勝的概率將是k/n-2。

將上面的概率加起來，你獲勝的概率為

注意這總是大于k/n的（因?yàn)閚-1比n-2大），所以最終結(jié)果是：總是要改變選擇。

02 什么是條件概率

所有這些版本的三門問題都說明了條件概率的概念：我們不知道最初的猜測(cè)正確與否，但可以計(jì)算在這兩種情形下的概率，并以此來確定獲勝的概率。

為了具體起見，我們引入一些符號(hào)。一般情況下，用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。例如，我們?cè)诜治鲇衝扇門和k輛車的三門問題時(shí)，令A(yù)代表“我們初始猜測(cè)是正確的”這個(gè)事件，令B代表“我們初始猜測(cè)是錯(cuò)誤的”這個(gè)事件，那么有

注意在一般情形下，P(A)是一個(gè)介于0和1之間的數(shù)，如果A是一個(gè)必然事件，則P(A)=1，如果A是一個(gè)不可能發(fā)生事件，那么P(A)=0。還要注意到，如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)事件A和B，且A和B中有一個(gè)一定發(fā)生，但不會(huì)同時(shí)發(fā)生，則一定有

現(xiàn)在，我們考慮三門問題中通過改變選擇后贏得游戲的事件，并用W表示。在這種情況下，我們也許開始并不知道W發(fā)生的概率，但知道如果A發(fā)生則W發(fā)生的概率。此時(shí)，記為P(W|A)。

同樣，在蒙提霍爾的例子中，情況是這樣的：假設(shè)開始的猜測(cè)是正確的，那么我們改變選擇后贏的概率用新的符號(hào)可表示為

類似地

上式中，P(W∩A)表示A和W都發(fā)生的概率。事實(shí)上，我們可以看到

即A和W同時(shí)發(fā)生的概率（記為P(W∩A)）等于A發(fā)生的概率乘以已知A發(fā)生的條件下W發(fā)生的概率。

假設(shè)我們現(xiàn)在遇到的情形是要么A發(fā)生要么B發(fā)生，但不會(huì)同時(shí)發(fā)生。在計(jì)算上，這種情形對(duì)應(yīng)于條件P(A)+P(B)=1。于是，說W發(fā)生就是說，要么W和A同時(shí)發(fā)生，要么W和B同時(shí)發(fā)生，即

此外，因?yàn)镻(W∩A)=P(A)·P(W|A)，同樣，對(duì)B也有類似的公式，因此可以將其寫為更一般的公式：

設(shè)兩個(gè)事件A或B會(huì)發(fā)生，但不同時(shí)發(fā)生。則對(duì)其結(jié)果可能依賴于A和B的第三個(gè)事件W，有

換句話說，假設(shè)事件A發(fā)生的概率為P(A)，那么在A發(fā)生的次數(shù)中，W發(fā)生的概率為P(W|A)；類似地，如果B發(fā)生的概率為P(B)，那么在這些次數(shù)中，W發(fā)生的概率為P(W|B)。于是W發(fā)生的總概率P(W)就是A和W同時(shí)發(fā)生的可能性P(A)·P(W|A)加上B和W同時(shí)發(fā)生的可能性P(B)·P(W|B)。

這正是在三門游戲中我們?cè)谟?jì)算決定改變策略而獲勝的概率時(shí)所做的運(yùn)算。

例如，如果P(A)=P(B)=1/2，即A和B的發(fā)生是等概率的，那么我們贏的概率就是P(W|A)和P(W|B)的平均，這是有意義的。當(dāng)P(A)增加，則P(B)減?。ㄟ@里因?yàn)锳和B發(fā)生的概率之和為1），這樣我們得到一個(gè)加權(quán)平均值，其中P(W|A)的權(quán)重更大一些；同樣，這也是有意義的。

在這種設(shè)定下，我們稱P(W|A)為假設(shè)A發(fā)生時(shí)獲勝的條件概率；類似地，稱P(W|B)為假設(shè)B發(fā)生時(shí)獲勝的條件概率。

我們可以很自然地得到更一般的版本。如果n個(gè)事件A₁，…，A_n中有一個(gè)事件必須發(fā)生；設(shè)P(A_i)為A_i發(fā)生的概率。假設(shè)A_i發(fā)生的情形下獲勝的概率是P(W|A_i)。于是獲勝的概率P(W)是

問題1 有兩個(gè)賭徒內(nèi)森和卡爾，由于缺乏想象力，他們正在玩一個(gè)簡單的游戲：每人擲一個(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)高的人獲勝。如果是平局，那么內(nèi)森擲一個(gè)骰子來打破平局：如果是1、2、3或4，則內(nèi)森獲勝，如果是5或者6，則卡爾獲勝。這給了內(nèi)森多少優(yōu)勢(shì)？換言之，他獲勝的概率是多大？

解第一次擲可能有三種結(jié)果：內(nèi)森直接獲勝，卡爾直接獲勝，或者平局。將這些結(jié)果分別記為A_N，A_C，A_T，我們要做的第一件事就是確定它們發(fā)生的概率。

這很直接。內(nèi)森和卡爾第一次擲骰子有36種可能的結(jié)果。其中6種是平局，剩下的30種結(jié)果中內(nèi)森獲勝和卡爾獲勝的次數(shù)是相同的。于是，

下面的問題是，在給定第一次擲的結(jié)果后內(nèi)森獲勝的概率是多少呢？同樣，這并不難計(jì)算：如果A_N發(fā)生了，則內(nèi)森直接獲勝；換句話說（或用符號(hào)表示），如果記內(nèi)森獲勝為W，那么

類似地，如果AC發(fā)生，那么內(nèi)森將沒有獲勝的機(jī)會(huì)，也就是說，

最后，如果AT發(fā)生，即第一輪的結(jié)果是平局，那么內(nèi)森將有4/6的概率會(huì)獲勝，于是

現(xiàn)在我們只需把它們都加起來：根據(jù)前面的公式，得到

換句話說，內(nèi)森將有19/36或約52。8%的概率贏得游戲。

下面用另外一個(gè)賭博游戲來說明條件概率這個(gè)概念：

問題2 內(nèi)森和卡爾已經(jīng)退步到玩擲硬幣的游戲了。游戲規(guī)則如下：內(nèi)森從一個(gè)裝有三枚硬幣的袋子里隨機(jī)挑選一枚，然后進(jìn)行投擲。如果是“正面”，則內(nèi)森獲勝，如果是“反面”，則卡爾獲勝。有意思的是，袋子中有兩枚硬幣是“公平的”，即出現(xiàn)“正面”和“反面”的概率相同，但一枚是特制的：出現(xiàn)“反面”的概率是60%，即3/5，出現(xiàn)“正面”的概率只有2/5。問題是，內(nèi)森獲勝的概率有多大？

解因?yàn)槲覀儾恢纼?nèi)森選擇了哪枚硬幣，所以不知道他投擲的概率是多少，但是知道每一種情況下的概率，所以可以使用我們的公式。按照這個(gè)邏輯：內(nèi)森選擇“公平”硬幣的概率是2/3，在這種情況下，有一半的概率會(huì)獲勝；他選擇“特制”硬幣的概率是1/3，在這種情況下，獲勝的概率只有2/5。換句話說，內(nèi)森獲勝的概率是2/3的1/3加上1/3的2/5，即