流形上的幾何與分析

本書結(jié)合Atiyah-Singer 指標(biāo)理論方面近四十年來(lái)涌現(xiàn)的新思想、新技術(shù)，以凝練的語(yǔ)言，對(duì)流形上幾何、拓?fù)渑c分析中若干經(jīng)典結(jié)果，如示性類的陳-Weil理論，等變上同調(diào)的Bott 留數(shù)公式及更一般的Berline-Vergne 局部化公式，Gauss-Bonnet-陳定理， Poincaré-Hopf 指標(biāo)公式, Morse 不等式，等等，給出了新穎而“現(xiàn)代”的系統(tǒng)介紹和處理。此外，本書還介紹了流形上的熱方程理論，并利用熱方程方法證明了Hodge定理和Lefschetz不動(dòng)點(diǎn)定理，給出了de Rham-Hodge 算子，Hirzebruch 符號(hào)差算子及Dirac 算子的局部指標(biāo)公式；介紹了Quillen 的超聯(lián)絡(luò)理論，并利用該理論給出了Gauss-Bonnet-陳定理的一個(gè)新的證明；還從向量叢上一般聯(lián)絡(luò)出發(fā)，幾何地構(gòu)造了向量叢的Euler形式與...

本書結(jié)合Atiyah-Singer 指標(biāo)理論方面近四十年來(lái)涌現(xiàn)的新思想、新技術(shù)，以凝練的語(yǔ)言，對(duì)流形上幾何、拓?fù)渑c分析中若干經(jīng)典結(jié)果，如示性類的陳-Weil理論，等變上同調(diào)的Bott 留數(shù)公式及更一般的Berline-Vergne 局部化公式，Gauss-Bonnet-陳定理， Poincaré-Hopf 指標(biāo)公式, Morse 不等式，等等，給出了新穎而“現(xiàn)代”的系統(tǒng)介紹和處理。此外，本書還介紹了流形上的熱方程理論，并利用熱方程方法證明了Hodge定理和Lefschetz不動(dòng)點(diǎn)定理，給出了de Rham-Hodge 算子，Hirzebruch 符號(hào)差算子及Dirac 算子的局部指標(biāo)公式；介紹了Quillen 的超聯(lián)絡(luò)理論，并利用該理論給出了Gauss-Bonnet-陳定理的一個(gè)新的證明；還從向量叢上一般聯(lián)絡(luò)出發(fā)，幾何地構(gòu)造了向量叢的Euler形式與Thom形式。

本書旨在向國(guó)內(nèi)的青年學(xué)子和數(shù)學(xué)工作者介紹Atiyah-Singer 指標(biāo)理論的一些基礎(chǔ)知識(shí)，展示該理論的基本思想與方法在流形的幾何、拓?fù)渑c分析中某些問(wèn)題上的重要應(yīng)用；可作為數(shù)學(xué)系研究生的教學(xué)參考資料，也可供相關(guān)專業(yè)科研人員學(xué)習(xí)使用。