干貨|簡(jiǎn)單理解梯度下降及線性回歸

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在回歸分析中，一個(gè)自變量和一個(gè)因變量的關(guān)系可用一條直線近似表示，稱(chēng)為一元線性回歸分析。當(dāng)自變量大于一個(gè)的時(shí)候，稱(chēng)為多元線性回歸。以房?jī)r(jià)-住宅面積為例。

我們希望模型擬合出一條直線 y=ax+b，以此表示住宅面積和房?jī)r(jià)之間的關(guān)系。當(dāng)二維坐標(biāo)系上分布的點(diǎn)離直線的距離之和越?。ù蠖鄶?shù)點(diǎn)離直線很近），擬合的效果越好。此時(shí)你輸入X（住宅面積），模型就會(huì)輸出一個(gè)與真實(shí)值相近的預(yù)測(cè)值（房?jī)r(jià)）。更一般直線方程表示為：

用向量的內(nèi)積表示方程會(huì)帶來(lái)很多便利（以后會(huì)知道的）。

但如果房?jī)r(jià)不僅與住宅面積有關(guān)，還和臥室的數(shù)量有關(guān)。直線方程仍然可以同樣的式子（向量的內(nèi)積）表示。

顯然，這時(shí)的點(diǎn)分布在一個(gè)三維空間，我們要用一個(gè)平面去擬合房?jī)r(jià)與住宅面積以及臥室之間的關(guān)系，如果三維空間上的點(diǎn)離平面的距離之和最小（大多數(shù)點(diǎn)離平面很近），我們認(rèn)為此時(shí)的模型是最好的。

這樣我們把在二維的線性回歸推廣到三維。在n維空間中，n-1個(gè)自變量與1個(gè)因變量的關(guān)系可以表示為n-1維的超平面。

上面我們將坐標(biāo)系中上所有點(diǎn)到超平面(超過(guò)3維則無(wú)法畫(huà)出圖像)的距離之和作為模型好壞的判別標(biāo)準(zhǔn)。距離之和越小，則可認(rèn)為模型越好。則我們的損失函數(shù)定義為：

損失函數(shù)的值 等于 對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值差的平方和求和。之所以對(duì)平方和求和，是為了避免正負(fù)誤差相互抵消 。（使用預(yù)測(cè)值與實(shí)際值差與使用上面的距離是等價(jià)的，而且計(jì)算量更小）1/2 是為了之后求偏導(dǎo)的時(shí)候可以讓式子的系數(shù)等于1而存在。（1/2有沒(méi)有都沒(méi)關(guān)系，系數(shù)只要非0，對(duì)結(jié)果都不會(huì)有影響，因?yàn)樵诒容^兩個(gè)不同模型的優(yōu)劣的時(shí)候，實(shí)際是比較他們損失函數(shù)的值，兩個(gè)數(shù)值乘以同一個(gè)非0因子，他們的大小關(guān)系不會(huì)改變。）

得出損失函數(shù)之后，我們就得到了一個(gè)求解最佳模型的策略——求解使損失函數(shù)達(dá)到最小的參數(shù)??。這里給大家介紹一種求解最優(yōu)解的一個(gè)辦法梯度下降。

學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的pong友肯定知道，順著梯度方向，函數(shù)值增加最快，逆著梯度函數(shù)值下降越快。所以在求解一個(gè)無(wú)約束求最值的問(wèn)題，梯度下降是一個(gè)非常常用的方法。（求最大和求最小是等價(jià)的，例如上面的損失函數(shù)加一個(gè)負(fù)號(hào)，學(xué)習(xí)的過(guò)程就變成一個(gè)求解損失函數(shù)取最大值時(shí)的模型參數(shù)過(guò)程）

梯度下降的過(guò)程可以概括為一個(gè)遞推表達(dá)式：

更新后的參數(shù) = 當(dāng)前參數(shù) - 學(xué)習(xí)速度*當(dāng)前梯度

上式中，學(xué)習(xí)速度又稱(chēng)步長(zhǎng)，用來(lái)控制每次迭代參數(shù)的改變量。所以梯度下降的關(guān)鍵在于不斷計(jì)算當(dāng)前的梯度，按照一定的學(xué)習(xí)速度，更新模型參數(shù)，直到收斂到極值。

關(guān)于能否達(dá)到全局最優(yōu)值。如果該函數(shù)是凸函數(shù)，則必定能收斂大最小值；否則能否達(dá)到全局最優(yōu)不僅取決于初值，學(xué)習(xí)速度也會(huì)影響。如上圖所示，初值選取不一樣，梯度下降所指向的極小值也不一樣。如果說(shuō)學(xué)習(xí)速度過(guò)大，梯度下降有可能會(huì)進(jìn)入到另一局部最優(yōu)解中。

梯度下降算法也有很多種，最常見(jiàn)的有批量梯度下降算法、隨機(jī)梯度下降算法，他們各有有優(yōu)缺點(diǎn)。

批量梯度下降： 求梯度的時(shí)候利用了所有的樣本

隨機(jī)梯度下降：求梯度的時(shí)候隨機(jī)使用一個(gè)樣本

• 批量梯度可以保證每次更新參數(shù)可以使得模型被優(yōu)化，因?yàn)榕刻荻认陆邓愠龅奶荻仁钦_的（使用了所有的樣本）；而隨機(jī)梯度下降由于每次更新只選擇使用一個(gè)樣本來(lái)求梯度，所求出的梯度往往沒(méi)有那么準(zhǔn)確。但是批量梯度下降每次迭代的開(kāi)銷(xiāo)很大（數(shù)據(jù)量很大時(shí)，計(jì)算梯度非常耗時(shí)間）。

• 隨機(jī)梯度計(jì)算的梯度雖然不是很準(zhǔn)確，但是它迭代的速度很快，每次接近最小值一點(diǎn)點(diǎn)，也還是能達(dá)到極值。在接近極值的時(shí)候，隨機(jī)梯度會(huì)在極值附近震蕩，不容易踩到極小值。所以在數(shù)據(jù)量很大，對(duì)精度要求并沒(méi)特別嚴(yán)苛的時(shí)候使用隨機(jī)梯度下降是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。

• 也有一個(gè)小批量梯度下降算法，每次只用少量的數(shù)據(jù)計(jì)算梯度，提高了梯度的準(zhǔn)確率，也不需要很大迭代的開(kāi)銷(xiāo)。但是并不能說(shuō)明這種方法比隨機(jī)梯度和批量梯度好。

此外，在梯度下降中，要適當(dāng)控制學(xué)習(xí)速度，特別是在接近最優(yōu)值附近的時(shí)候，過(guò)大的學(xué)習(xí)速率會(huì)越過(guò)最優(yōu)值，在最優(yōu)值附近震蕩。還有在開(kāi)始學(xué)習(xí)的時(shí)候，如果學(xué)習(xí)速率很小，則需要更多次迭代才能達(dá)到局部最優(yōu)。

回到線性回歸，用批量梯度下降來(lái)求解線性回歸模型的最佳參數(shù)。（用隨機(jī)梯度也是可以，這里不過(guò)是舉例）那么我們首先要求解梯度

上式為J(??)對(duì)??求偏導(dǎo)，1/2其實(shí)只是為了抵消求導(dǎo)產(chǎn)生的那個(gè)2的因子。更新一次的過(guò)程如下所示。

訓(xùn)練的過(guò)程就是不斷的求偏導(dǎo)，更新模型參數(shù)，直到損失函數(shù)收斂，訓(xùn)練過(guò)程就結(jié)束了。

訓(xùn)練完的線性回歸模型接受你的輸入，然后輸出一個(gè)預(yù)測(cè)值。

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