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線性代數(shù)是美國數(shù)學(xué)教授哈爾莫斯(Paul R. Halmos)的專長，他在 26 歲時出版了一本經(jīng)典教材《有限維向量空間》( Finite-Dimensional Vector Spaces )。哈爾莫斯在回憶錄《我要做數(shù)學(xué)家》( I Want to Be a Mathematician )談到他第一次學(xué)習(xí)線性代數(shù)的悲慘遭遇[1]：

代數(shù)課很難，我讀得很搓火。…當(dāng)我說搓火，我是真的生氣。Brahana… 不知道如何說清楚，我們的教材是 B?cher 的書(我認(rèn)為寫得一團(tuán)糟)，我花在這個科目的多數(shù)時間里，我的情緒惱火到憤怒。…不知怎么的，我的線性代數(shù)導(dǎo)論最后幸存下來。過了四、五年，在我取得博士學(xué)位，聽了諾伊曼(von Neumann) 講的算子理論后，我才真正開始明白這個科目到底在講什么。

為什么線性代數(shù)這么難？從哈爾莫斯說的這段話可以歸結(jié)兩個原因：第一是老師很爛，第二是課本很糟。如果學(xué)習(xí)一門科目的兩個重要(必要？) 條件不是爛就是糟，我們還能冀望學(xué)好它嗎？不過話說回來，即使哈爾莫斯的線性代數(shù)啟蒙老師是數(shù)學(xué)大師諾伊曼，哈爾莫斯未必當(dāng)下就能真正明白線性代數(shù)在講什么。我說的真正明白不是指考試拿高分，而是有一天你在洗澡時豁然開悟，奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫：「啊哈！我明白了！」老實講，我不認(rèn)為有那個老師或那本教科書可以讓學(xué)生「第一次學(xué)線代就上手」。真正全面性的理解線性代數(shù)需要時間，需要勤奮練習(xí)與堅持思考。

客觀上，線性代數(shù)之所以不容易學(xué)好的主要原因在于這個科目是由許多「人造的概念」架構(gòu)而成的理論，而且它們經(jīng)常以公設(shè)化的形式出現(xiàn)：定義 ─ 定理 ─ 證明(其實近代數(shù)學(xué)基本上都是這樣)。美國作家梭羅(Henry David Thoreau)說[2]：「任何傻瓜訂個規(guī)則，就有笨蛋在意它。」數(shù)學(xué)家制定這些定義與公設(shè)的背后當(dāng)然有其動機(jī)與目的(數(shù)學(xué)家們又不是傻瓜)，但在老師與課本都只字不提的情況下，基于什么信念我們要接受這套幾乎與日常生活經(jīng)驗無關(guān)的理論？(我們也不是笨蛋，對吧？)

人們不可能理解毫無動機(jī)的定義與缺少目的的定理。俄國數(shù)學(xué)家阿諾爾德(Vladimir Arnold)在〈論數(shù)學(xué)教育〉說[3]：

理解乘法交換律的唯一可能的方式，打個比方就是分別按行序和列序來數(shù)一個陣列里士兵的人數(shù)，或者說用兩種方式來計算長方形的面積。任何試圖只做不與物理和現(xiàn)實世界打交道的數(shù)學(xué)都屬于宗派主義和孤立主義，這必將損毀在所有敏感的人們眼中把數(shù)學(xué)創(chuàng)造視為一項有用的人類活動的美好印象。

遺憾的是，理解線性代數(shù)的核心觀念與內(nèi)容沒有什么唯一可能的方式，把物理和現(xiàn)實世界拉進(jìn)來常常也起不了多少作用。許多學(xué)生暗地隱藏心中的困惑與懷疑，繼續(xù)偽裝成線性代數(shù)愛好者的一個現(xiàn)實原因是他們聽別人說：「線性代數(shù)是一門應(yīng)用廣泛的重要基礎(chǔ)課目」，于是懷抱著一絲盼望，期待有朝一日經(jīng)過苦痛學(xué)來的線性代數(shù)終會發(fā)光發(fā)熱(見“ 學(xué)線性代數(shù)有什么用？”)。這些學(xué)生至少還留下一點火種，另外一批學(xué)生或早或晚將放棄線性代數(shù)，從此對任何與矩陣運(yùn)算有關(guān)的學(xué)科敬而遠(yuǎn)之。美國計算機(jī)科學(xué)教授鮑許(Randy Pausch)在〈最后一課〉(The Last Lecture)說[4]：「人生路上有阻擋你夢想的磚墻，那是有原因的。這些磚墻讓我們來證明我們究竟有多么想要得到我們所想要的。」線性代數(shù)是一道磚墻，接下來我要講的話是給那些想翻越這道磚墻的人聽的。

英國數(shù)學(xué)家哈代(GH Hardy)說[5]：「數(shù)學(xué)家的模式，如畫家或詩人的模式一定是美麗的；數(shù)學(xué)家的想法，如色彩或文字必須以和諧的方式結(jié)合在一起。美是首要的試金石：丑陋的數(shù)學(xué)不可能永存。」線性代數(shù)是一個優(yōu)美凝鏈的數(shù)學(xué)分支。線性代數(shù)像是巴赫(JS Bach)的〈無伴奏大提琴組曲〉，巴赫在這里構(gòu)建了一種循序漸進(jìn)和連貫統(tǒng)一的風(fēng)格，每首組曲在結(jié)構(gòu)上都按照嚴(yán)格的曲式譜成。而在音樂發(fā)展的過程中，每個樂章之間的內(nèi)在聯(lián)系更是交響曲的先聲[6]。線性代數(shù)的結(jié)構(gòu)是向量空間，曲式是線性變換。線性代數(shù)的樂章有矩陣代數(shù)、正交、行列式、特征值與特征向量，以及二次型等。研習(xí)線性代數(shù)與演奏〈無伴奏大提琴組曲〉同樣都需要有效的學(xué)習(xí)方法。

回到標(biāo)題，如何學(xué)好線性代數(shù)？哈爾莫斯從不知道線性代數(shù)到底在講什么，短短幾年變身為一代宗師，他是怎么辦到的？哈爾莫斯公開了他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)秘笈[7]：

「別只是讀；跟它對抗！問你自己的問題，找你自己的例子，發(fā)現(xiàn)你自己的證明。這個假設(shè)是必要的嗎？反向命題成立嗎？經(jīng)典的特例有哪些情況？退化時會怎么樣？證明在何處使用了假設(shè)？」

在〈無伴奏大提琴組曲〉中，有些樂章(如 Sarabande)的音樂性格和內(nèi)容與其他樂章明顯不同。在線性代數(shù)中，兩個數(shù)學(xué)物件常具有某種相異的性質(zhì)卻又有一些相同的性質(zhì)。譬如，在一般情況下，兩個同階方陣和不滿足乘法交換律，，但是。讀了課本的證明，你可能依然困惑。哈爾莫斯鼓勵我們提出「蠢問題」。譬如，的幾何意義是什么？與是否擁有其他的基本不變量使得行列式不改變？繼續(xù)推廣，三個同階方陣 , , 的乘積 , , , , , 除了行列式不變，是否還有其他相同的性質(zhì)？一般來說，無論老師或課本都不會主動地回答我們的「蠢問題」。教師常以「世界上沒有愚蠢的問題，只有愚蠢的答案」呼吁學(xué)生發(fā)問，但絕少學(xué)生愿意公開提出他們心中的「蠢問題」。吊詭的是，回答「蠢問題」偏偏是研習(xí)線性代數(shù)的一個極為有效的途徑。底下列舉一些困擾我們卻又羞于啟齒的「蠢問題」供讀者思考，但我未將「蠢答案」貼上免得破壞眾人的學(xué)習(xí)樂趣。運(yùn)氣好的話，你在這個網(wǎng)站上亂逛說不準(zhǔn)可以找到「蠢答案」，當(dāng)然「蠢答案」不會是大家都認(rèn)同的標(biāo)準(zhǔn)答案。