九章算術卷第一

九章算術卷第一

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉 勅注釋。

方田，

今有田廣十五步，從十六步，問爲田幾何？荅曰：一畝。

又有田廣十二步，從十四步，問爲田幾何？

荅曰：一百六十八步。

方田術曰：廣從步數(shù)相乘得積步，

以畝法二百四十步除之，卽畝數(shù)百畝爲一頃。

今有田廣一里，從一里，問爲田幾何？

荅曰：三頃七十五畝。

又有田廣二里，從三里，問爲田幾何？

荅曰：二十二頃五十畝。

里田術曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，卽畝數(shù)。

今有十八分之十二。問約之得幾何？荅曰：三分之二。

又有九十一分之四十九。問約之得幾何？荅曰：十三分之七。

約分

術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之，

今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？

荅曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？

荅曰：得一六十三分之五十。又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？

荅曰：得二。六十分之四十三。

合分

術曰：母互乘子，并以爲實。母相乘爲法。實如法而一，不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。

今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？

荅曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？荅曰：十二分之五。

減分。術曰：母互乘子，以少減多，餘爲實。母相乘爲法。實如法而一。

今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？

荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾何？

荅曰：九分之八多，多六十三分之二，

又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？多幾何？

荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

課分術曰：母互乘子，以少減多，餘爲實。母相乗爲法，實如法而一，卽相多也。

今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少各幾何而平？

荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少各幾何而平？

荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三

平分。術曰：母互乘子，副并爲平實。母相乘爲法，以列數(shù)乘未并者，各自爲列實，亦以列數(shù)乘法。以平實減列實，餘約之爲所減，并所減以益於少。以法命平實，各得其平。

今有七人分八錢、三分錢之一。問：人得幾何？

荅曰：人得一錢二十一分錢之四。

又有三人，三分人之一，分六錢，三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？

荅曰：人得二錢八分錢之一。

經分

術曰：以人數(shù)爲法，錢數(shù)爲實。實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

今有田廣七分步之四，從五分步之三，問爲田幾何？

荅曰：三十五分步之十二。

又有田廣九分步之七，從十一分步之九，問爲田幾何？

荅曰：十一分步之七。

又有田廣五分步之四，從九分步之五，問爲田幾何？荅曰：九分步之四。

乘分術曰：母相乘爲法，子相乘爲實，實如法而一。

今有田廣三步三分步之一，從五步五分步之二，問爲田幾何？

荅曰：十八步。

又有田廣七步四分步之三，從十五步九分步之五，問爲田幾何？荅曰：一百二十步九分步之五。

又有田廣十八步七分步之五，從二十三步十一分步之六，問爲田幾何？

荅曰：一畝二百步十一分步之七。

大廣田

術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘爲實，分母相乘爲法，實如法而一。

今有圭田廣十二步，正從二十一步。問爲田幾何？

荅曰：一百二十六步。

又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二。問爲田幾何？

荅曰：二十三步六分步之五。

術曰：半廣以乘正從。今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問爲田幾何？

荅曰：九畝一百四十四步。

又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問爲田幾何？

荅曰：二十三畝七十步。

術曰：并兩邪而半之，以乘正從，若廣。又可半正從若廣以乘，并畝法而一。今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問爲田幾何？

荅曰：一畝一百三十五步。

又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問爲田幾何？

荅曰：四十六畝二百三十二步半。

術曰：并踵舌而半之，以乘正，從畝法而一。

今有圓田，周三十步，徑十步。問爲田幾何？荅曰：七十五步。

又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。問爲田幾何？

荅曰：十一畝九十步十二分步之一。

術曰：半周、半徑相乘得積步。

又術曰：周徑相乘，四而一。

又術曰：徑自相乘，三之，四而一。

又術曰：周自相乘，十二而一。今有宛田，下周三十步，徑十六步。問爲田幾何？荅曰：一百二十步。

又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問爲田幾何？

荅曰：五畝六十二步四分步之一。

術曰：以徑乘周，四而一。

今有弧田，弦三十步，矢十五步。問爲田幾何？

荅曰：一畝九十七步半。

又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問爲田幾何？

荅曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。

術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

今有環(huán)田中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問爲田幾何？

荅曰：二畝五十五步。又有環(huán)田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，徑十二步三分步之二。問爲田幾何？

荅曰：四畝一百五十六步四分步之一。

術曰：并中、外周而半之，以徑乘之，爲積步。密率術曰：置中、外周步數(shù)，分母子各居其下，母互乘子，分母相乘，通全步內分子，并而半之。又可以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周爲實。分母相乘爲法，除之，爲積步。餘積步之分，等數(shù)約之，以畝法除之，卽畝數(shù)也。

九章算術卷一、

九章算術卷一訂訛補圖

休寧戴震東、原

臣淳風等謹按：母互乘子副并爲平實者，定此平實立限，衆(zhòng)子所當損益。如限爲平，按半周爲從，半徑爲廣，故廣從相乘爲積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，

圓內容六觚之圖

以九十六觚之冪減之，餘六百二十五分寸之以百五，謂之差冪。倍之，爲分寸之二百一十。

以此術求之，得冪一百六十一寸有奇，其數(shù)相近矣。此術微少，而斛差冪六百二十五分寸之一百五，以十二觚之冪爲率，消息當取此分寸之三十六。臣淳風等謹按：依密率，以七乘周，二十二而一卽徑。以二十二乘徑，七而一卽周。依術求之，卽得弧

田

圖。