九章算術(shù)卷四

九章算術(shù)卷四

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車(chē)都尉臣李淳風(fēng)等奉　勅注釋

少?gòu)V

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術(shù)曰：置全步及分母子，以最下分母徧乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之於左，命通分者，又以分母徧乘諸分子及已通者，皆通而同之，并之爲(wèi)法。置所求步數(shù)，以全步積分乘之爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法而一，得從步。

今有田廣一步半，求田一畝，問(wèn)從幾何？荅曰：一百六十步。術(shù)曰：下有半，是二分之一。以一爲(wèi)二，半爲(wèi)一，并之得三，爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)二乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有田廣一步半，三分步之一，求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：一百三十步一十一分步之一十。

術(shù)曰：下有三分，以一爲(wèi)六，半爲(wèi)三，三分之一爲(wèi)二，并之得一十一爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)六乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從歩。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一，求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：一百一十五步五分步之一。

術(shù)曰：下有四分，以一爲(wèi)一十二，半爲(wèi)六，三分之一爲(wèi)四，四分之一爲(wèi)三，并之得二十五，以爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)一十二乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法而一，得從步。今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一，求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：一百五步。一百三十七分步之一十五。

術(shù)曰：下有五分，以一爲(wèi)六十，半爲(wèi)三十，三分之一爲(wèi)二十，四分之一爲(wèi)一十五，五分之一爲(wèi)一十二，并之得一百三十七，以爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)六十乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：九十七步四十九分步之四十七。

術(shù)曰：下有六分，以一爲(wèi)一百二十，半爲(wèi)六十，三分之一爲(wèi)四十，四分之一爲(wèi)三十，五分之一爲(wèi)二十四，六分之一爲(wèi)二十，并之得二百九十四，以爲(wèi)法。置田二百四十歩，亦以一爲(wèi)一百二十乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：九十二步一百二十一分步之六十八。

術(shù)曰：下有七分，以一爲(wèi)四百二十，半爲(wèi)二百一十，三分之一爲(wèi)一百四十，四分之一爲(wèi)一百五，五分之一爲(wèi)八十四，六分之一爲(wèi)七十，七分之一爲(wèi)六十，并之得一千八十九，以爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)四百二十乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。

術(shù)曰：下有八分，以一爲(wèi)八百四十，半爲(wèi)四百二十，三分之一爲(wèi)二百八十，四分之一爲(wèi)二百一十，五分之一爲(wèi)一百六十八，六分之一爲(wèi)一百四十，七分之一爲(wèi)一百二十，八分之一爲(wèi)一百五，并之得二千二百八十三，以爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)八百四十乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？荅曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

術(shù)曰：下有九分，以一爲(wèi)二千五百二十，半爲(wèi)一千二百六十，三分之一，爲(wèi)八百四十；四分之一爲(wèi)六百三十，五分之一爲(wèi)五百四，六分之一爲(wèi)四百二十，七分之一爲(wèi)三百六十，八分之一爲(wèi)三百一十五，九分之一爲(wèi)二百八十，并之得七千一百二十九，以爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)二千五百二十乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一，四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

術(shù)曰：下有一十分，以一爲(wèi)二千五百二十，半爲(wèi)一千二百六十，三分之一爲(wèi)八百四十，四分之一爲(wèi)六百三十，五分之一爲(wèi)五百四，六分之一爲(wèi)四百二十，七分之一爲(wèi)三百六十，八分之一爲(wèi)三百一十五，九分之一爲(wèi)二百八十，十分之一爲(wèi)二百五十二，并之得七千三百八十一，以爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)二千五百二十乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：七十九步八萬(wàn)三千七百一十一分步之三萬(wàn)九千六百三十一。

術(shù)曰：下有一十一分，以一爲(wèi)二萬(wàn)七千七百二十，半爲(wèi)一萬(wàn)三千八百六十，三分之一爲(wèi)九千二百四十，四分之一爲(wèi)六千九百三十，五分之一爲(wèi)五千五百四十四，六分之一爲(wèi)四千六百二十，七分之一爲(wèi)三千九百六十，八分之一爲(wèi)三千四百六十五，九分之一爲(wèi)三千八十，一，十分之一爲(wèi)二千七百七十二，一十一分之一爲(wèi)二千五百二十，并之得八萬(wàn)三千七百一十一，以爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)二萬(wàn)七千七百二十乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？

荅曰：七十七步八萬(wàn)六千二十一分步之二萬(wàn)九千一百八十三。

術(shù)曰：下有一十二分，以一爲(wèi)八萬(wàn)三千一百六十，半爲(wèi)四萬(wàn)一千五百八十，三分之一爲(wèi)二萬(wàn)七千七百二十，四分之一爲(wèi)二萬(wàn)七百九十，五分之一爲(wèi)一萬(wàn)六千六百三十二，六分之一爲(wèi)一萬(wàn)三千八百六十，七分之一爲(wèi)一萬(wàn)一千八百八十，八分之一爲(wèi)一萬(wàn)三百九十五，九分之一爲(wèi)九千二百四十，一十分之一爲(wèi)八千三百一十六，十一分之一爲(wèi)七千五百六十，十二分之一爲(wèi)六千九百三十，并之得二十五萬(wàn)八千六十三，以爲(wèi)法。置田二百四十步，亦以一爲(wèi)八萬(wàn)三千一百六十乘之，爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得從步。

今有積五萬(wàn)五千二百二十五步，問(wèn)爲(wèi)方幾何？

荅曰：二百三十五步。

又有積二萬(wàn)五千二百八十一步，問(wèn)爲(wèi)方幾何？

荅曰：一百五十九步。

又有積七萬(wàn)一千八百二十四步，問(wèn)爲(wèi)方幾何？荅曰：二百六十八步。

又有積五十六萬(wàn)四千七百五十二步四分步之一，問(wèn)爲(wèi)方幾何？

荅曰：七百五十一步半。

又有積三十九億七千二百一十五萬(wàn)六百二十五步，問(wèn)爲(wèi)方幾何？

荅曰：六萬(wàn)三千二十五步。

開(kāi)方

術(shù)曰：置積爲(wèi)實(shí)，借一算步之，超一等，議所得，以一乘所借一算爲(wèi)法，而以除除已，倍法爲(wèi)定法。其復(fù)除、折法而下，復(fù)置借算，步之如初，以復(fù)議一乘之，所得副以加定法以除，以所得副從定法復(fù)除、折下如前。若開(kāi)之不盡者，爲(wèi)不可開(kāi)，當(dāng)以面命之。若實(shí)有分者，通分內(nèi)子爲(wèi)定實(shí)，乃開(kāi)之。訖，開(kāi)其母報(bào)除。若母不可開(kāi)者，又以母再乘定實(shí)，乃開(kāi)之。訖，令如母而一。

今有積一千五百一十八步四分步之三。問(wèn)爲(wèi)圓周幾何？

荅曰：一百三十五步。

又有積三百步。問(wèn)爲(wèi)圓周幾何？荅曰：六十步。

開(kāi)圓術(shù)曰：置積步數(shù)，以十二乘之，以開(kāi)方除之，卽得周。

今有積一百八十六萬(wàn)八百六十七尺，問(wèn)爲(wèi)立方幾何？

荅曰：一百二十三尺。

今有積一千九百五十三尺八分尺之一，問(wèn)爲(wèi)立方幾何？

荅曰：一十二尺半。今有積六萬(wàn)三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，問(wèn)爲(wèi)立方幾何？

荅曰：三十九尺八分尺之七。

又有積一百九十三萬(wàn)七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。問(wèn)爲(wèi)立方幾何？

荅曰：一百二十四尺太半尺。

開(kāi)立方

術(shù)曰：置積爲(wèi)實(shí)，借一算步之，超二等，議所得，以再乘所借一算爲(wèi)法而除之，除已，三之，爲(wèi)定法。復(fù)除，折而下，以三乘所得數(shù)，置中行，復(fù)借一算，置下行，步之，中超一，下超二位。復(fù)置議，以一乘中，再乘下，皆副，以加定法。以定法除。除已，倍下，并中，從定法。復(fù)除，折下，如前開(kāi)之不盡者，亦爲(wèi)不可開(kāi)。若積有分者，通分內(nèi)子爲(wèi)定實(shí)，定實(shí)乃開(kāi)之。訖，開(kāi)其母以報(bào)除。若母不可開(kāi)者，又以母再乘定實(shí)，乃開(kāi)之。訖，令如母而一。

今有積四千五百尺，問(wèn)爲(wèi)立圓徑幾何？荅曰：二十尺。

又有積一萬(wàn)六千四百四十八億六千六百四十三萬(wàn)七千五百尺。問(wèn)爲(wèi)立圓徑幾何？

荅曰：一萬(wàn)四千三百尺。

開(kāi)立圓術(shù)曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得，開(kāi)立方除之，卽丸徑

九章算術(shù)卷四

九章算術(shù)卷四訂訛補(bǔ)圖

休寧戴震東原祖暅之開(kāi)立圓術(shù)曰：以二十一乘積，十一而一，開(kāi)立方除之，卽立圓徑。其意何也？取立方棊一枚，令立樞於左後之下隅，從規(guī)去其右上之廉，又合而橫規(guī)之，去其前上之廉，右前之廉，於是立方之棊分而爲(wèi)四規(guī)。內(nèi)棊一，謂之內(nèi)棊規(guī)外棊三，謂之外棊。更合四棊，復(fù)橫斷之。以句股言之，令餘高爲(wèi)句內(nèi)棊，斷上方爲(wèi)股。本方之?dāng)?shù)其弦也。句股之法，以句冪減弦冪，則餘爲(wèi)股冪。若令餘高自乘，減本方之冪，餘卽內(nèi)減棊斷上方之冪也。本方之冪，卽外四棊之?dāng)嗌蟽?。然則餘高自乘卽外三棊之?dāng)嗌蟽缫印２粏?wèn)高卑，勢(shì)皆然也。故曰：丸居立方三分之一也。