九章算術(shù)卷九

九章算術(shù)卷九

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車(chē)都尉臣李淳風(fēng)等奉　勅注釋

句股。

今有句三尺，股四尺，問(wèn)爲(wèi)弦?guī)缀?？荅曰：五尺。

今有弦五尺，句三尺。問(wèn)爲(wèi)股幾何？荅曰：四尺。

今有股四尺，弦五尺。問(wèn)爲(wèi)句幾何？荅曰：三尺。

句股

術(shù)曰：句、股各自乘，并而開(kāi)方除之，卽弦

又股自乘，以減弦自乘，其餘開(kāi)方除之，卽句；又句自乘，以減弦自乘，其餘開(kāi)方除之，卽股。

今有圓材徑二尺五寸，欲爲(wèi)方版，令厚七寸。問(wèn)廣幾何？

荅曰：二尺四寸五分。

術(shù)曰：令徑二尺五寸自乘，以七寸自乘，減之，其餘，開(kāi)方除之，卽廣。

今有木長(zhǎng)二丈，圍之三尺，葛生其下，?木七周，上與木齊。問(wèn)葛長(zhǎng)幾何？

荅曰：二丈九尺。

術(shù)曰：以七周乘三圍爲(wèi)股，木長(zhǎng)爲(wèi)句，爲(wèi)之求弦。弦者，葛之長(zhǎng)。

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？

荅曰：

水深一丈二尺，

葭長(zhǎng)一丈三尺。

術(shù)曰：半池方自乘，以出水一尺自乘減之，餘倍出水除之，卽得水深。加出水?dāng)?shù)，得葭長(zhǎng)。

今有立木繫索其末，委地三尺，引索郤行，去本八尺而索盡。問(wèn)索長(zhǎng)幾何？

荅曰：一丈二尺二十一分尺之一。術(shù)曰：以去本自乘，令如委數(shù)而一，所得，加委地?cái)?shù)而半之，卽索長(zhǎng)。

今有垣高一丈，倚木於垣，高與垣齊，引木郤行一尺，其木至地。問(wèn)木幾何？

荅曰：五丈五寸。

術(shù)曰：以垣高十尺自乘，如郤行尺數(shù)而一。所得以加郤行尺數(shù)而半之，卽木長(zhǎng)數(shù)。

今有圓材埋在壁中，不知大小，以鐻鐻之，深一寸，鐻道長(zhǎng)一尺。問(wèn)徑幾何？

荅曰：材徑二尺六寸。

術(shù)曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，卽材徑。

今有開(kāi)門(mén)去閫一尺，不合二寸。問(wèn)門(mén)廣幾何？荅曰：一丈一寸。

術(shù)曰：以去閫一尺自乘，所得以不合二寸半之而一，所得增不合之半，卽得門(mén)廣。

今有戸高多於廣六尺八寸，兩隅相去適一丈。問(wèn)戸高、廣各幾何？荅曰：

廣二尺八寸，

高九尺六寸。

術(shù)曰：令一丈自乘爲(wèi)實(shí)。半相多，令自乘，倍之，減實(shí)，半其餘，以開(kāi)方除之，所得，減相多之半，卽戸廣；加相多之半，卽戸高。

今有戸不知高廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。問(wèn)戸高、廣、袤各幾何？

荅曰：

廣六尺，

高八尺，衺一丈。

術(shù)曰：從、橫不出相乘，倍而開(kāi)方除之，所得，加從不出卽戸廣，加橫不出卽戸高，兩不出加之，得戸袤。

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問(wèn)折者高幾何？

荅曰：四尺二十分尺之十一。

術(shù)曰：以去本自乘，令如高而一，所得，以減竹高，而半其餘，卽折者之高也。

今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙東行，甲南行十步，而邪東北與乙會(huì)。問(wèn)甲、乙行各幾行？

荅曰：

乙東行十步半，

甲邪行十四步半，及之。

術(shù)曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以爲(wèi)甲邪行率。邪行率減於七自乘，餘爲(wèi)南行率。以三乘七，爲(wèi)乙東行率。置南行十步，以甲邪行率乘之；副置十步，以乙東行率乘之。各自爲(wèi)實(shí)。實(shí)如南行率而一，各得行數(shù)。

今有句五步，股十二步。問(wèn)句中容方幾何？

荅曰：方三步十七分步之九。術(shù)曰：并句、股爲(wèi)法，句、股相乘爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法而一，得方一步。

今有句八步，股十五步。問(wèn)句中容圓徑幾何？荅曰：六步。術(shù)曰：八步爲(wèi)句，十五步爲(wèi)股，爲(wèi)之求弦。三位并之爲(wèi)法，以句乘股，倍之爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法得徑一步。

今有邑方二百步，各中開(kāi)門(mén)，出東門(mén)十五步有木。問(wèn)出南門(mén)幾何步而見(jiàn)木？

荅曰：六百六十六步。太半步：

術(shù)曰：出東門(mén)步數(shù)爲(wèi)法，半邑方自乘爲(wèi)實(shí)，實(shí)如法得一步。今有邑，東西七里，南北九里，各中開(kāi)門(mén)，出東門(mén)十五里有木。問(wèn)出南門(mén)幾何步而見(jiàn)木？

荅曰：三百一十五步。

術(shù)曰：東門(mén)南至隅步數(shù)以乘南門(mén)東至隅步數(shù)爲(wèi)實(shí)。以木去門(mén)步數(shù)爲(wèi)法。實(shí)如法而一。

今有邑方，不知大小，各中開(kāi)門(mén)，出北門(mén)三十步有木，出西門(mén)七百五十步見(jiàn)木。問(wèn)邑方幾何？荅曰：一里。

術(shù)曰：令兩出門(mén)步數(shù)相乘，因而四之，爲(wèi)實(shí)。開(kāi)方除之，卽得邑方。

今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)，出北門(mén)二十步有木。出南門(mén)十四步，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木。問(wèn)邑方幾何？

荅曰：二百五十步。術(shù)曰：以出北門(mén)步數(shù)乘西行步數(shù)，倍之，爲(wèi)實(shí)。并出南門(mén)步數(shù)爲(wèi)從法。開(kāi)方除之，卽邑方。

今有邑方十里，各中開(kāi)門(mén)。甲、乙俱從邑中央而出，乙東出，甲南出。出門(mén)不知步數(shù)，邪向東門(mén)，磨邑，適與乙會(huì)。率甲行五，乙行三。問(wèn)甲、乙行各幾何？

荅曰：

甲出南門(mén)八百步，邪東北行四千八百八十七步半。及乙、

乙東行四千三百一十二步半。

術(shù)曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，爲(wèi)邪行率。邪行率減於五自乘者，餘爲(wèi)南行率。以三乘五，爲(wèi)乙東行率。置邑方，半之，以南行率乘之，如東行率而一，卽得出南門(mén)步數(shù)。以增邑方，半?yún)u南行。置南行步。求弦者以邪行率乘之，求東者以東行率乘之，各自爲(wèi)實(shí)。實(shí)如南行率得一步。

有木去人不知遠(yuǎn)近。立四表，相去各一丈，令左兩表與所望參相直，從後右表望之，入前右表三寸。問(wèn)：木去人幾何？荅曰：三十三丈三尺三寸少半寸。

術(shù)曰：令一丈自乘爲(wèi)實(shí)。以三寸爲(wèi)法。實(shí)如法而一。

有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，望木末，適與山峯斜平，人目高七尺。問(wèn)山高幾何？

荅曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。

術(shù)曰：置木高，減人目高七尺，餘以乘五十三里爲(wèi)實(shí)。以人去木三里爲(wèi)法。實(shí)如法而一，所得加木高卽山高。

今有井徑五尺，不知其深，立五尺木於井上，從木末望水岸，入徑四寸。問(wèn)井深幾何？

荅曰：五丈七尺五寸。術(shù)曰：置井徑五尺，以入徑四寸減之，餘以乘立木五尺爲(wèi)實(shí)，以入徑四寸爲(wèi)法。實(shí)如法得一寸。九章算術(shù)卷之九終。錢(qián)唐莫濰校，字大淸，乾隆三十八年癸巳秋。闕里孔氏依汲古閣影宋刻本重雕。秘書(shū)省

九章算術(shù)一部，共九冊(cè)。

元豐七年九月日校定。降授宣德郎秘書(shū)省校書(shū)郞葉祖洽上進(jìn)。校定，承議郎行秘書(shū)省校書(shū)郎王仲脩校定，朝奉郎行秘書(shū)省校書(shū)郎錢(qián)長(zhǎng)?、奉議郎守秘書(shū)郞丞韓宗古、

朝請(qǐng)郎試秘書(shū)少監(jiān)趙彥若，

元豐七年九月二十八日

進(jìn)呈，奉

御寶批：宐依已校定鏤板。

朝奉郎、祕(mì)書(shū)丞、上騎都尉、賜緋魚(yú)袋韓　治，朝散郎、試祕(mì)書(shū)少監(jiān)、上騎都尉、賜緋魚(yú)袋顧　臨，朝議大夫、守祕(mì)書(shū)少監(jiān)、上?軍、賜紫金魚(yú)袋劉　攽，中大夫、守尙書(shū)右丞、?軍、東平郡開(kāi)國(guó)侯、食邑貳千叁百戸、賜紫金魚(yú)袋呂大防、通議大夫、守尙書(shū)左丞、上柱國(guó)、平原郡開(kāi)國(guó)公、食邑貳千捌百戸、食實(shí)封伍伯戸李清臣、正議大夫、守中書(shū)侍郞、上柱國(guó)、馮翊郡開(kāi)國(guó)公、食邑貳千叁百戸、食實(shí)封伍伯戸張　璪，正議大夫、守門(mén)下侍郎、上柱國(guó)、南陽(yáng)郡開(kāi)國(guó)公、食邑貳千壹百戸、食實(shí)封壹阡戸韓　維，金紫光祿大夫、守尙書(shū)右僕射兼中書(shū)侍郎、上柱國(guó)、東平郡開(kāi)國(guó)公，食邑六千二百戸、食實(shí)封壹阡玖伯戸。呂公著，正議大夫、守尙書(shū)左僕射、兼門(mén)下侍郎、上柱國(guó)、河內(nèi)郡開(kāi)國(guó)公、食邑四千一百戸、食實(shí)封壹阡伍伯戸。司馬光

九章算術(shù)卷九訂訛補(bǔ)圖

休寧　戴　震　東原

句股弦互求圖，

據(jù)圍廣木長(zhǎng)，求葛之長(zhǎng)，其形葛卷裏袤以筆管靑線宛轉(zhuǎn)，有似葛之?木。解而觀之，則每周之閒自有相閒成句股弦，則其閒木長(zhǎng)爲(wèi)股，圍之爲(wèi)句，葛長(zhǎng)爲(wèi)弦，弦七周乘三圍，是并合衆(zhòng)句以爲(wèi)一句，則句長(zhǎng)而股短，故術(shù)以木長(zhǎng)謂之句，圍之謂之股，言之倒互句與股。求弦，亦如前圖。句三自乘爲(wèi)朱冪，股四自乘爲(wèi)靑冪，合朱靑二十五爲(wèi)弦，五自乘冪出上第一圖，句、股冪合爲(wèi)弦冪明矣。然二冪之?dāng)?shù)，謂倒在於弦冪之中，而已可更相裏者，則成方冪，其居表者，則成矩冪，二表裏形訛而數(shù)均。又按：此圖句冪之矩靑卷白表，是其冪以句股弦差爲(wèi)廣，股弦并爲(wèi)袤，而股冪方其裏。股冪之矩靑卷白表是其冪以句弦差爲(wèi)廣，句弦并爲(wèi)袤，而句冪方其裏。是故差之與并用，除之短長(zhǎng)互相乘也。句股差句股并與弦互求之圖

股實(shí)之矩圖

句實(shí)之矩圖

臣淳風(fēng)等謹(jǐn)按：下鐻深得一寸爲(wèi)半股弦差。注云：爲(wèi)股弦差者，鐻道也。股弦卽高廣袤，其出此圖也。其倍弦爲(wèi)廣袤，合矩句卽爲(wèi)冪，得廣卽句股差。其矩句之冪，倍爲(wèi)從法開(kāi)之，亦句股差。其餘以句股冪減半，其餘差爲(wèi)從法，開(kāi)方除之，卽句也。句實(shí)廣袤合圖、

股實(shí)廣袤合圖。

句弦差、股弦差。求句股弦之圖

術(shù)曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以爲(wèi)甲邪行率。邪行率減於七自乘，餘爲(wèi)南行率。以三乘七，爲(wèi)乙東行率。股與句弦并，求句弦之圖，

句、股相乘爲(wèi)朱靑、黃冪各二，令黃冪連於下隅，朱靑各以類(lèi)合，共成修冪。中方黃爲(wèi)廣，并句股爲(wèi)袤，故并句股爲(wèi)法。冪圖方在句中，則方之兩亷各自成小句股，而其相與之勢(shì)不失本率也。句面之小股，股面之小句，從橫相連，合而成中方。令股爲(wèi)中方率，并句、股爲(wèi)廣率，據(jù)見(jiàn)句五步而今有之，得中方也。復(fù)令句爲(wèi)中方率，以并句、股爲(wèi)袤率，據(jù)股一十二步而今有之，則中方又可知。此則雖不效而法實(shí)有，法由生矣。句股容方圖，

句、股相乘，爲(wèi)圖之本體。朱靑黃冪各二，則倍之爲(wèi)各四，可用畫(huà)於小?，分裁邪正之會(huì)，令顛倒相補(bǔ)，各以類(lèi)合成修冪。圓徑爲(wèi)廣，並句、股、弦爲(wèi)袤，故并句、股、弦以爲(wèi)法。又以圖之大體言之，股中靑必令立規(guī)於橫廣，句、股又邪三徑均，而復(fù)連規(guī)從橫量度，句、股必合而成小方矣。又畫(huà)中弦以觀其會(huì)，則句、股之中成小句、股、弦四者，句面之小股，股面之小句，皆小方之面，皆圓徑之半其數(shù)，故可衰。以句、股、弦爲(wèi)列衰，副并爲(wèi)法，以小句乘未并者，各自爲(wèi)實(shí)。實(shí)如法而一，得句面之小股可知也。以股乘列衰爲(wèi)實(shí)，則得股面之小句可知。言雖異矣，及其所以成法之實(shí)，則同歸矣。則圓徑又可以句乘之差并句弦差減股爲(wèi)圓徑。

九章之術(shù)，乃算術(shù)之鼻祖，囊括後賢，胥不能度越範(fàn)圍焉，猶六經(jīng)之臨百氏也。周官保氏九數(shù)，鄭君以九章之方田粟米，衰分少?gòu)V，商功均輸、方程嬴不足。旁要釋之，綴曰：今有重差、夕桀、句股也。錢(qián)曉徵學(xué)士以爲(wèi)夕桀乃互椉之脫誤，良然。蓋九章句股篇末有望遠(yuǎn)、度高、測(cè)深七術(shù)，或析之名曰九章重差、互椉卽方程術(shù)所謂維椉是也。句股卽旁要疏所云：今九章以句股替旁要。旁要云者，不必實(shí)有是形，可自旁假設(shè)，以要取之。祖沖之謂之綴術(shù)疏。又引馬氏融注，今有重差夕桀，馬氏不連及句股者，以句股替旁要，故不重舉。劉徽序云：漢張蒼、耿壽昌因舊文遺殘，各稱(chēng)刪補(bǔ)，故校其目，與古或異，而所論多近語(yǔ)。所謂目與古異者，則句股替旁要是也。至唐王孝通云：校其條目，頗與古術(shù)不合，則妄而敢矣。夫古今豈有異術(shù)哉！劉徽因其有望遠(yuǎn)諸術(shù)，遂造重差，綴於句股之下。卽今海島算，引而申之，觸類(lèi)而長(zhǎng)之，事之宜也。舊有圖，今缺，余友休寧東原戴先生補(bǔ)之，今分附諸篇之末，亦猶劉徽之綴重差於句股焉。乾隆癸巳，闕里孔繼涵識(shí)於京師壽雲(yún)簃之敏事齋九章算術(shù)卷九終。