100種分析思維模型之:大數(shù)定理
你好，我是林驥。 在我們的日常工作、生活和學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)面對(duì)著各種不確定性的隨機(jī)事件，此時(shí)我們不妨運(yùn)用 統(tǒng)計(jì)思維 ，發(fā)現(xiàn)事物背后的規(guī)律。 在統(tǒng)計(jì)思維的背后，還有一把神奇的鑰匙，那就是大數(shù)定理。 下面介紹 100 種分析思維模型的第 73 種：大數(shù)定理，它能幫助我們更好地理解規(guī)律背后的原理，提升預(yù)測未來的能力。 1. 為什么學(xué)習(xí)大數(shù)定理？ 對(duì)于很多人來說，感覺數(shù)學(xué)很難，不知道學(xué)數(shù)學(xué)有什么用，更不知道怎么用。因此，只停留較低的水平，無法跟日常運(yùn)用對(duì)接起來，結(jié)果白白浪費(fèi)了很多時(shí)間和精力。 事實(shí)上，在我們的日常生活中，每天都可以用到數(shù)學(xué)，從簡單的加減乘除，到一些復(fù)雜的公式定理，只要運(yùn)用得當(dāng)，就能發(fā)揮出巨大的價(jià)值。 我們每天都在面臨各種各樣的風(fēng)險(xiǎn)，出門有風(fēng)險(xiǎn)，不出門也有風(fēng)險(xiǎn)；吃飯有風(fēng)險(xiǎn)，不吃飯也有風(fēng)險(xiǎn)；坐車有風(fēng)險(xiǎn)，坐飛機(jī)也有風(fēng)險(xiǎn)…… 風(fēng)險(xiǎn)幾乎無處不在，但有些風(fēng)險(xiǎn)是可控的，有些風(fēng)險(xiǎn)是不可控的；有些風(fēng)險(xiǎn)是可預(yù)知的，有些風(fēng)險(xiǎn)是不可預(yù)知的；有些風(fēng)險(xiǎn)是比較大的，有些風(fēng)險(xiǎn)是比較小的…… 其實(shí)，我們完全不必「杞人憂天」，只要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用大數(shù)定理，就可以更合理地評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)大小，進(jìn)而做出正確的決策。 如果沒有大數(shù)定理的話，那么所有的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，以及一切通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)事物背后的規(guī)律，都將變得沒有什么意義。 正是因?yàn)橛辛舜髷?shù)定理，我們才可以通過現(xiàn)實(shí)觀察到的數(shù)據(jù)，去預(yù)測未知的事物，并且因此有了科學(xué)理論的支撐。 總之，通過學(xué)習(xí)大數(shù)定理，可以幫助我們正確地理解和分析數(shù)據(jù)，預(yù)測隨機(jī)事件發(fā)生的規(guī)律，避免被事物的表象所誤導(dǎo)，提高 數(shù)據(jù)分析 和科學(xué)決策的能力，進(jìn)而提升我們的認(rèn)知水平。 2. 什么是大數(shù)定理？ 大數(shù)定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)基本定理，它的核心思想是： 如果進(jìn)行多次隨機(jī)試驗(yàn)，只要樣本數(shù)量越多，它們的平均值就越趨近于數(shù)學(xué)期望值。 比如， 在拋硬幣的試驗(yàn)中，正常情況下出現(xiàn)正面的概率是 50%，按照大數(shù)定理，拋硬幣的次數(shù)越多，出現(xiàn)正面的次數(shù)就越趨近于總次數(shù)的 50%。 假如你拋 10 次硬幣，出現(xiàn)了 8 次正面，這并不能說明硬幣有問題，或者說大數(shù)定理有問題，也許是因?yàn)槟銙伒拇螖?shù)還不夠多。當(dāng)你拋的次數(shù)足夠多之后，正常情況下都會(huì)回歸均值的。 下面我用 Python 代碼模擬了拋硬幣的過程：
從圖中可以直觀地看出，隨著拋硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的比例越來越趨近于 0.5。 大數(shù)定理有多種不同的形式，包括伯努利大數(shù)定理、切比雪夫大數(shù)定理、辛欽大數(shù)定理、波萊爾大數(shù)定理、柯爾莫哥洛夫大數(shù)定理等。 不同的大數(shù)定理，在前提假設(shè)方面略有差異，在結(jié)論的深度和角度等方面也有所不同，但它們都經(jīng)過數(shù)學(xué)家的嚴(yán)格證明，否則就只能叫「大數(shù)定律」。 嚴(yán)格來說，定理與定律是有區(qū)別的。 定理是經(jīng)過邏輯推理或嚴(yán)格證明的原理，不允許有例外情況。比如平面幾何中的勾股定理，無論直角三角形怎么變，兩條直角邊的平方和，一定等于斜邊的平方。 定律是通過觀察或?qū)嶒?yàn)獲得的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，在一定條件下可能會(huì)失效。比如牛頓的經(jīng)典力學(xué)三大定律，在微觀環(huán)境下可能不成立。 盡管定理與定律的概念略有不同，但是由于在「大數(shù)定理」被數(shù)學(xué)家嚴(yán)格證明之前，人們已經(jīng)習(xí)慣稱之為「大數(shù)定律」。所以，現(xiàn)在人們所說的「大數(shù)定律」，通常就是指「大數(shù)定理」。 3. 怎么運(yùn)用大數(shù)定理？ 無論是在工作中，還是在生活中，大數(shù)定理都為我們提供了一種應(yīng)對(duì)不確定性的方法。 我們可以把運(yùn)用大數(shù)定理，去發(fā)現(xiàn)一些事物背后的規(guī)律，從而幫助我們做出正確的判斷和決策。 比如，通過量化自己的時(shí)間價(jià)值，假設(shè)你每小時(shí)的價(jià)值是 1000 元，現(xiàn)在有一件事情，需要你花 1 個(gè)小時(shí)，有 20% 的可能性獲得 8000 元的收益，另外有 80% 的可能性收益為 0 元，那么這件事是否值得去做呢？ 答案是肯定的，因?yàn)樽鲞@件事的數(shù)學(xué)期望是 20%*8000=1600 元，明顯高于你的時(shí)間價(jià)值。雖然有 80% 的可能性浪費(fèi)一個(gè)小時(shí)的時(shí)間，但是按照大數(shù)定理，長期來看，這樣的事情做得越多，就越有可能獲得更多的收益。 運(yùn)用大數(shù)定理，核心不在于梳理已知的事實(shí)，而在于推斷未知的可能性。 在推斷未知的過程中，你可能需要用到 貝葉斯思維 ，就是從過去已知條件出發(fā)，去推測未來事件發(fā)生的概率。 這有點(diǎn)像福爾摩斯探案的過程，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)在兇手作案的時(shí)間里，平常見人就叫的狗卻沒有叫，因此推斷出肯定 是熟人作案。 運(yùn)用大數(shù)定理，當(dāng)一件大概率應(yīng)該發(fā)生的事情沒有發(fā)生時(shí)，其中肯定存在某種原因，你在經(jīng)過分析和排查之后，也許就能揭示其中的真相。 最后的話 數(shù)據(jù)的應(yīng)用離不開統(tǒng)計(jì)學(xué)，而大數(shù)定理是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石，它保障了 概率思維 和 統(tǒng)計(jì)思維 的科學(xué)性和實(shí)用性，讓我們能夠更好地認(rèn)識(shí)世界的規(guī)律，進(jìn)而做出更加合理的決策。 有些人喜歡認(rèn)真做好每一件小事，雖然短期來看收益比較小，但是大概率能夠成功，經(jīng)過時(shí)間的日積月累，就有可能形成 復(fù)利效應(yīng) 。 另外有些人則喜歡潛心做一件大事，雖然成功率比較低，但是一旦成功，收益非常高。 無論你選擇做哪種人，只要符合大數(shù)定理，最終都有可能獲得自己想要的結(jié)果。 然而，有些人卻違背大數(shù)定理去做事。比如，想要靠賭博發(fā)家致富，這幾乎是不可能的，因?yàn)橘€場早已算準(zhǔn)了賭徒輸錢的概率。 一個(gè)人的認(rèn)知，決定了一個(gè)行為。如果我們學(xué)會(huì)運(yùn)用大數(shù)定理，也許就不會(huì)去做賭博和盲目投資之類的傻事了。 人只能賺到自己認(rèn)知范圍之內(nèi)的錢，憑運(yùn)氣贏得的財(cái)富，最后都會(huì)憑實(shí)力輸回去。 只有努力提升自己的認(rèn)知水平，從過去收集數(shù)據(jù)，到現(xiàn)在分析思考，再到未來指導(dǎo)行動(dòng)，做好風(fēng)險(xiǎn)的管控，才能讓生活變得更加幸福。 延伸學(xué)習(xí)： 《劉嘉概率論通識(shí)講義》（劉嘉，2021年） 《30 天認(rèn)知訓(xùn)練營》（王爍，2020年） 相關(guān)文章： 100 種分析思維模型系列
運(yùn)行結(jié)果如下：import numpy as npimport scipy.stats as stimport matplotlib as mplimport matplotlib.pyplot as plt
# 防止中文亂碼mpl.rcParams['font.sans-serif']=[u'simHei']mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False
# 定義次數(shù)和范圍n = 1000x = np.arange(1, n+1, 1)# 定義數(shù)組：出現(xiàn)正面的比例y = []# 循環(huán)計(jì)算for i in x:data = st.bernoulli.rvs(size=i, p=0.5) # 伯努利分布數(shù)據(jù)y.append(sum(data)/len(data)) # 追加出現(xiàn)正面的比例
# 設(shè)置圖表的大小plt.figure(figsize=(18.8, 8))
# 作圖設(shè)置plt.xlabel('拋硬幣次數(shù)', fontsize=20)plt.ylabel('出現(xiàn)正面的比例', fontsize=20)plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=16)
# 作圖并展示plt.plot(x,y)plt.plot([n,0.5], [0.5,0.5], 'r') # 均值參考線plt.show()
從圖中可以直觀地看出，隨著拋硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的比例越來越趨近于 0.5。 大數(shù)定理有多種不同的形式，包括伯努利大數(shù)定理、切比雪夫大數(shù)定理、辛欽大數(shù)定理、波萊爾大數(shù)定理、柯爾莫哥洛夫大數(shù)定理等。 不同的大數(shù)定理，在前提假設(shè)方面略有差異，在結(jié)論的深度和角度等方面也有所不同，但它們都經(jīng)過數(shù)學(xué)家的嚴(yán)格證明，否則就只能叫「大數(shù)定律」。 嚴(yán)格來說，定理與定律是有區(qū)別的。 定理是經(jīng)過邏輯推理或嚴(yán)格證明的原理，不允許有例外情況。比如平面幾何中的勾股定理，無論直角三角形怎么變，兩條直角邊的平方和，一定等于斜邊的平方。 定律是通過觀察或?qū)嶒?yàn)獲得的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，在一定條件下可能會(huì)失效。比如牛頓的經(jīng)典力學(xué)三大定律，在微觀環(huán)境下可能不成立。 盡管定理與定律的概念略有不同，但是由于在「大數(shù)定理」被數(shù)學(xué)家嚴(yán)格證明之前，人們已經(jīng)習(xí)慣稱之為「大數(shù)定律」。所以，現(xiàn)在人們所說的「大數(shù)定律」，通常就是指「大數(shù)定理」。 3. 怎么運(yùn)用大數(shù)定理？ 無論是在工作中，還是在生活中，大數(shù)定理都為我們提供了一種應(yīng)對(duì)不確定性的方法。 我們可以把運(yùn)用大數(shù)定理，去發(fā)現(xiàn)一些事物背后的規(guī)律，從而幫助我們做出正確的判斷和決策。 比如，通過量化自己的時(shí)間價(jià)值，假設(shè)你每小時(shí)的價(jià)值是 1000 元，現(xiàn)在有一件事情，需要你花 1 個(gè)小時(shí)，有 20% 的可能性獲得 8000 元的收益，另外有 80% 的可能性收益為 0 元，那么這件事是否值得去做呢？ 答案是肯定的，因?yàn)樽鲞@件事的數(shù)學(xué)期望是 20%*8000=1600 元，明顯高于你的時(shí)間價(jià)值。雖然有 80% 的可能性浪費(fèi)一個(gè)小時(shí)的時(shí)間，但是按照大數(shù)定理，長期來看，這樣的事情做得越多，就越有可能獲得更多的收益。 運(yùn)用大數(shù)定理，核心不在于梳理已知的事實(shí)，而在于推斷未知的可能性。 在推斷未知的過程中，你可能需要用到 貝葉斯思維 ，就是從過去已知條件出發(fā)，去推測未來事件發(fā)生的概率。 這有點(diǎn)像福爾摩斯探案的過程，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)在兇手作案的時(shí)間里，平常見人就叫的狗卻沒有叫，因此推斷出肯定 是熟人作案。 運(yùn)用大數(shù)定理，當(dāng)一件大概率應(yīng)該發(fā)生的事情沒有發(fā)生時(shí)，其中肯定存在某種原因，你在經(jīng)過分析和排查之后，也許就能揭示其中的真相。 最后的話 數(shù)據(jù)的應(yīng)用離不開統(tǒng)計(jì)學(xué)，而大數(shù)定理是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石，它保障了 概率思維 和 統(tǒng)計(jì)思維 的科學(xué)性和實(shí)用性，讓我們能夠更好地認(rèn)識(shí)世界的規(guī)律，進(jìn)而做出更加合理的決策。 有些人喜歡認(rèn)真做好每一件小事，雖然短期來看收益比較小，但是大概率能夠成功，經(jīng)過時(shí)間的日積月累，就有可能形成 復(fù)利效應(yīng) 。 另外有些人則喜歡潛心做一件大事，雖然成功率比較低，但是一旦成功，收益非常高。 無論你選擇做哪種人，只要符合大數(shù)定理，最終都有可能獲得自己想要的結(jié)果。 然而，有些人卻違背大數(shù)定理去做事。比如，想要靠賭博發(fā)家致富，這幾乎是不可能的，因?yàn)橘€場早已算準(zhǔn)了賭徒輸錢的概率。 一個(gè)人的認(rèn)知，決定了一個(gè)行為。如果我們學(xué)會(huì)運(yùn)用大數(shù)定理，也許就不會(huì)去做賭博和盲目投資之類的傻事了。 人只能賺到自己認(rèn)知范圍之內(nèi)的錢，憑運(yùn)氣贏得的財(cái)富，最后都會(huì)憑實(shí)力輸回去。 只有努力提升自己的認(rèn)知水平，從過去收集數(shù)據(jù)，到現(xiàn)在分析思考，再到未來指導(dǎo)行動(dòng)，做好風(fēng)險(xiǎn)的管控，才能讓生活變得更加幸福。 延伸學(xué)習(xí)： 《劉嘉概率論通識(shí)講義》（劉嘉，2021年） 《30 天認(rèn)知訓(xùn)練營》（王爍，2020年） 相關(guān)文章： 100 種分析思維模型系列
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