人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)--不定積分2：利用換元法求不定積分
一、引言
在《人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)–不定積分1：概念與性質(zhì)》介紹了必須熟記的十三個(gè)基本積分公式及十一個(gè)擴(kuò)展公式，利用這些公式以及不定積分的加法以及數(shù)乘性質(zhì)，可以進(jìn)行部分積分的計(jì)算，但非常有限，因此有必要進(jìn)一步研究不定積分的計(jì)算。
本文介紹利用中間變量代換，將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求積分，相關(guān)方法稱為換元積分法，簡(jiǎn)稱換元法。
換元法分為兩類，第一類是通過(guò)形如u=φ（x）變量代換后將函數(shù)化為某復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的形式，第二類是將x=ψ（t）進(jìn)行變量代換，將代換后的函數(shù)化為某復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的形式。
二、第一類換元法
定理：設(shè)f(u)具有原函數(shù)，u=φ(x)可導(dǎo)，則有換元公式：
由此定理可見(jiàn)，雖然∫f[ φ(x]φ’(x)dx是一個(gè)整體記號(hào)，但從形式上看，可以認(rèn)為是方便應(yīng)用積分表進(jìn)行計(jì)算的積分：∫f[φ(x]dφ(x)。
因此第一類換元法的核心思想是將∫f(x)dx形式的積分表達(dá)式中的f(x)dx化為φ(x)φ’(x)dx。
書(shū)中案例很多，挑3個(gè)有代表性稍微復(fù)雜的案例，以供大家理解：
一般地，對(duì)于積分∫f(ax+b)dx (a≠0)，總可作變換u=ax+b，把其化為：
一般地，對(duì)于sin2k+1x cosnx或sinnx cos2k+1x型的函數(shù)積分，總可以作變換u=sinx或u=cosx，求得結(jié)果。
類似地，對(duì)于tannx sec2kx或tan2k-1x secnx型的函數(shù)積分，總可以作變換u=tanx或u=secx，求得結(jié)果。
一般地，對(duì)于sinx的2m次方乘 cosx的2n次方型的函數(shù)積分，總可以利用三角恒等式sin^2x=(1-cos2x)/2或cos^2x=(1+cos2x)/2作變換化成cos2x的多項(xiàng)式，然后用上例的方法求得結(jié)果。類似地還可以利用和差化積或積化和差等三角恒等式進(jìn)行變換。
三、第二類換元法
定理：設(shè)x=ψ(t)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，并且ψ’(t)≠0，又設(shè)f[ψ(t)]ψ’(t)具有原函數(shù)，則有換元公式：
其中ψ-1(t)是x=ψ(t)的反函數(shù)。
說(shuō)明：
這一公式的證明可以對(duì)公式（2-2）右邊的被積函數(shù)求導(dǎo)即可證明；
與第一類換元公式的區(qū)別是需要用到一個(gè)中間變換，將x變?yōu)閤為因變量其他引入?yún)?shù)如t為自變量的函數(shù)；
求出基于t的原函數(shù)后，要用t到x的反函數(shù)代換回去。
案例：
下面看個(gè)書(shū)中的案例：
注意：老猿在這里思考了一下，為什么能用x=asint？這是因?yàn)閍^2 - x^2決定了x^2∈[0,a^2]，因此對(duì)于滿足該要求的x都可以用asint來(lái)表達(dá)。
從上面的例子可以看出（受文字輸入影響，下面的描述中根號(hào)用?表示）：
如果被積函數(shù)含有?(a^2 -x^2)，可以作代換x=asin t 化去根式。
類似地：
如果被積函數(shù)含有?（x^2+a^2） ，可以作代換x=atan t 化去根式;
如果被積函數(shù)含有?(x^2-a^2 )，可以作代換x=±asec t 化去根式。
但具體解題時(shí)要分析被積函數(shù)的具體情況，選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換，不要拘泥于上述的變量代換。
四、倒代換
除了上面介紹的2類代換外，還有一種用于消去分母中自變量的倒代換。
五、小結(jié)
本文介紹了三種換元法求不定積分的方法及案例，但具體解題時(shí)要分析被積函數(shù)的具體情況，選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換，不要拘泥于特定的變量代換。
說(shuō)明：
本文內(nèi)容是老猿學(xué)習(xí)同濟(jì)版高數(shù)的總結(jié)，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎(chǔ)知識(shí)、、圖像處理原理介紹相關(guān)電子資料，或?qū)ξ恼聝?nèi)有有疑問(wèn)咨詢的，請(qǐng)掃博客首頁(yè)左邊二維碼加微信公號(hào)，根據(jù)加微信公號(hào)后的自動(dòng)回復(fù)操作。
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